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时间:2021-01-29
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1、平行线开放性问题的探究 开放性问题,格调清新,在解题过程中有较多的创造性,对考查同学们的创造能力、想象能力和探索能力有独特的作用. 一、与平行线间的折线有关的开放题 例1.如图1,AB∥CD,EO和FO交于点O. (1)试猜想∠1,∠2,∠3的大小关系,并说明理由. (2)如图2,直线l1∥l2,AB⊥l1,垂足为O,BC与l2,相交于点E,若∠1=300,则∠B=. (3)如图3,AB∥CD,图中∠1,∠2,∠3,…,∠2n-1,∠2n之间有什么关系?图1图2图3图4图5 解:(1)∠2=∠1+∠3.
2、理由:如图4, 过点0作MN∥AK 由于AB∥CD.所以MN∥AB∥CD.所以∠1=∠EON,∠3=∠NOF. 所以∠1+∠3=∠EON+∠NOF=∠EOF.即∠2=∠1+∠3. (2)由(1)中的结论有:∠B=∠MOB+∠BEN=∠MOB+∠1=900+300=1200. (3)∠1+∠3+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n. 理由:如图5,作EF∥AB,则∠1=∠α. 作GH∥EF,则∠θ=∠β. 因为AB∥CD.所以CD∥GH.因此∠γ=∠4. 所以∠1+∠θ+∠γ=∠α+∠β+∠4. 即1
3、∠+∠3=∠2+∠4. 因此∠1+∠3+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n 二、平行线问题的条件开放题 即要得到某一结论,但还缺少条件,要求补充完整,往往所补充的条件不惟一的题. 例2.如图6,已知:AB⊥BE于B,CD⊥DF于D,要使AB∥CD,还需补充什么条件?请你填上所需条件. 解析:要使AB∥CD,只要使∠1=∠2,因AB⊥BE于B,从而∠l=900,故只需∠2=900;考虑到CD⊥DF于D,故∠3=900,从而∠2=∠3即可;又由∠2=∠3可知BE∥DF.图6 故可在∠2=∠3,或BE∥DF中任
4、选一个条件即可. 三、平行线问题的结论开放题 即满足条件的结论未给出,且结论不惟一. 例3.如图7,已知DE,BF分别平分∠ADC和∠ABC,∠ABF=∠AED,∠ADC=∠ABC,由此可得到图中哪些线段平行?并说明理由. 解:DE∥BF,CD∥AB,AD∥BC. 由∠AED=∠ABF易得DE∥BF 由已知可知∠AED=∠ABF=∠ABC=∠ADC=∠EDC,故CD∥AB;图7 由CD∥AB易得∠C+∠ABC=1800,又因为∠ABC=∠ADC,所以∠C+∠ADC=1800,故AD∥BC. 例4.如图8,
5、AB∥CD,GM,HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线. (1)试判断GM和HN的位置关系; (2)如果GM是∠AGH的角平分线,(1)中的结论还成立吗? (3)如果GM是∠BGH的角平分线,(1)中的结论还成立吗?如果不成立,你能得到什么结论?图10 解:(1)GM∥HN. 理由:由AB∥CD,可得∠BGE=∠DHG. 因为∠MGE=∠BGE,∠NHG=∠DHG,所以∠MGE=∠NHG. 所以GM∥HN. (2)如图9,(1)中的结论仍然成立. 理由:因为AB∥CD,所以∠AGH=∠DHG.图9
6、又因为∠MGH=∠AGH,∠NHG=∠DHG, 所以∠MGH=∠NHG. 因此GM∥HN. (3)如图10,(1)中的结论不成立. 结论:GM⊥HN. 理由:因为AB∥CD,所以∠BGH+∠DHG=1800.图10 又因为∠HGM=∠BGH,∠GHN=∠DHG, 所以∠HGM+∠GHN=900. 所以∠GKH=900.即GM⊥HN. 四、平行线问题的综合开放问题 例5.如图11,已知∠1=∠2,BD平分∠ABC,可得到哪两条直线平行?如果要得到另外两条直线平行,则应将上述两个条件之一作如何改变? 分
7、析:由BD平分∠ABC知∠1=∠DBC,又∠1=∠2,可知∠2=∠DBC,从而可知平行的两条线段了.若要另外的两直线平行,仍可仿上述条件作适当改动即可. 解:由已知条件可得AD∥BC.理由:因为BD平分∠ABC,所以∠l=∠DBC.又因为∠l=∠2,故∠2=∠DBC.从而AD∥BC. 若要AB∥DC,则只需∠1=∠BDC即可.而∠1=∠2,故应有∠2=∠BDC.这时可将“BD平分∠ABC”改为“DB平分∠ADC”即可.图11 例6 如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,请你从所
8、得四个关系中任意选取一个加以说明. 分析:这是一道几何探索题,它对培养同学们的学习兴趣,培养探索问题的思维和方法,能起到积极的引导作用.对初一刚学习几何的同学来说,本题只要充分应用平行线的性质及在小学学过的“三角形内角和等于180°”的性质就能顺利获解.这里过点P作AB的平行线,是在平行线问题中常用的一种添
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