平行线中的开放性问题

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1、平行线中的开放性问题EACBD如右图所示，AB、CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A、C两点，点E是橡皮筋上的任意一点，拽动点E将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A、∠C、∠AEC之间的关系，并说明理由。分析：本题是一个开放性的问题，因为原题当中并没有说明点E拽动后的位置，所以结合实际情况，可以将点E拽动后的位置分为四种情况。图1解：第一种情况（如图1），∠AEC＝∠A＋∠C理由：经过点E做EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠A＝∠1，∠C＝∠2（两直线平行，内

2、错角相等）所以∠1＋∠2＝∠A＋∠C即∠AEC＝∠A＋∠C图2第二种情况（如图2），∠AEC＋∠A＋∠C＝360°理由：经过点E做EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠1＋∠A＝180°，∠2＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠1＋∠A＋∠2＋∠C＝360°即∠A＋∠C＋∠AEC＝360°图3第三种情况（如图3），∠AEC＝∠A－∠C理由：经过点E做EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠A＝∠AEF，∠C

3、＝∠1（两直线平行，内错角相等）5图4所以∠A－∠C＝∠AEF－∠1即∠AEC＝∠A－∠C第四种情况（如图4），∠AEC＝∠C－∠A理由：经过点E做EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠C＋∠2＝180°，∠A＋∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）所以（∠C＋∠2）－（∠A＋∠AEF）＝180°－180°＝0所以∠C＋∠2－∠A－∠AEF＝0所以∠C－∠A＝∠AEF－∠2＝∠AEC即∠AEC＝∠C－∠A.舞动在两平行线间的折线图1有一些题目由于看起来太简单，往往

4、很少进一步思考，其实若能从多个角度进行探索思考，可能会有许多发现，使我们对数学的学习更加深入.题目：如图1，已知AB∥EF.试说明：∠BCF=∠B+∠F.解：过点C作CD∥AB.因为AB∥EF，所以CD∥EF.所以∠BCD=∠B，∠FCD=∠F（两直线平行，内错角相等）.所以∠BCD＋∠FCD=∠B＋∠F，即∠BCF=∠B+∠F.我们在做完之后，可对本题做进一步的反思和探究.1.从说明方法上探究图2图3解法1：如图2，延长BC交EF于D.因为AB∥EF，所以∠B=∠BDF.在三角形CFD中，∠BDF＋∠F＋∠DCF＝180°

5、，又∠BCF＋∠DCF=180°，所以∠BCF=∠B+∠F.解法2：如图3，过C点作DG⊥AB分别交AB、EF于G、D.因为AB∥EF，所以DG⊥EF.因为∠BCF=（∠BCG+∠DCF）=（∠BCG）+（∠FCD），即∠BCF=∠B+∠F.5图5图42.从点C的位置上探究在上述问题中，折线在AB、EF之间，如果改变点C的位置，点C不在AB、EF之间，而在AB、EF的外侧，如图4、图5所示，∠BCF的结果会是多少呢？解：如图4，过点C作CD∥AB.因为AB∥EF，CD∥EF，所以∠BCD=∠B，∠DCF=∠F.所以∠BCF＝

6、∠BCD－∠DCF＝∠B－∠F.如图5，过点C作CD∥AB.因为AB∥EF，CD∥EF，所以∠BCD=∠F，∠DCB=∠B.所以∠BCF＝∠BCD－∠DCB＝∠F－∠B.图6变式训练：1.如图6，，∠1＝120°，∠2＝100°，则∠3＝（　）A．20°B．40°C．50°D．60°图7图82.如图7，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是　　　．3.如图8，，直线与、分别相交于、两点，平分∠，过点作垂足为，若∠＝30，则∠＝_____．答案：1.A2.90º3.60°5两条平行线与一组折

7、线构造的角的一类探析DBCAFE例题：如图已知，∥.分别是、的角平分线，是两条角平分线的交点；求证：.分析：作辅助线，可以探究：与及之间的关系来，结合角的平分线的性质，可以探究出与之间的关系来：MNDBCAFE证明：过分别作的平行线，可证明下面的结论：,,所以FNBACDE评注：两条平行线之间一组折线构造出的三个角，两条折线构造的角等于两条折线分别与平行线构造的角的和；其实还可以得出结论：两平行线之间有一组折线：(为交点)，分别是、的角平分线，是两条角平分线的交点；则有结论：；一般地：如图所示：∥.一组折线交于点如果有条件：

8、，（都是正整数，且＞＞0）;交于点,那么（即）与（即）的比值是，即有：;练习：1、如图已知，∥.分别是、的角平分线，是两条角平分线的交点；，，计算：（1）的度数；（2）的度数；答案（1）150°；（2）75°；52、如图已知，∥.一组折线交于点：FEACDB（1）当,,交于点那么与（即）的