指数函数与对数函数的关系.docx

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1、.指数函数与对数函数的关系一、目标认知学习目标理解反函数的概念、互为反函数的图象间的关系；指数函数与对数函数互为反函数的关系.重点反函数的概念及互为反函数图象间的关系.难点反函数概念.二、知识要点梳理知识点一、反函数的概念及互为反函数两函数间的关系1.反函数概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.函数的反函数通常用表示.要点诠释：(1)对于任意一个函数，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映

2、射是一一映射时，这个函数才存在反函数；(2)反函数也是函数，因为它符合函数的定义.2.互为反函数的图象关系：关于直线对称；3.互为反函数的定义域和值域关系：反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.4.求反函数的方法步骤：(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；Word文档.-1(1)由原函数y=f(x)反解出x=f(y)；-1(2)交换x,y改写成y=f(x)；-1(3)用f(x)的值域确定f(x)的定义域.知识点二、指数函数与对数函数的关系指数函数定义定义域与对数函数值域图象互为反函数.性质指

3、xy=a(a>0且(-∞，+∞)(0，+∞)(1)图象过点(0，1)数a≠1)叫指数(2)a>1，当x>0，y>1；函函数当x=0，y=1；数当x<0时00，01。x(3)a>1，y=a为增函数；x00(0，+∞)(-∞，+∞)(1)图象过点(1，0)数且a≠1)叫对(2)a>1时，当x>1，y>0；函数函数当x=1，y=0；数当00

4、；当x=1，y=0；当x>1，y<0.(3)a>1，y=logax为增函数；0a>d>c(2)①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx则有：0

5、gcxlogbx>0>logcx>logdx三、规律方法指导互为反函数与的图象关于直线y=x对称.可知：1．函数的图象关于直线y=x对称；2.点A(m，n)在函数的反函数的图象上A(m，n)关于直线y=x的对称点B(n，m)在的图象上.经典例题透析类型一、求函数的反函数1．已知f(x)=(0≤x≤4)，求f(x)的反函数.思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域).Word文档.2解：∵0≤x≤4，∴0≤x≤16，9≤25-x2≤25，∴3≤

6、y≤5，Word文档.2222∵y=，y=25-x，∴x=25-y.∵0≤x≤4，∴x=(3≤y≤5)-1将x，y互换，∴f(x)的反函数f(x)=(3≤x≤5).2．已知f(x)=，求f-1(x).思路点拨：求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当x≥0时，y=x+1≥1，∴y∈[1，+∞)，∴f-1(x)=x-1(x≥1)；Word文档.22当x<0时，y=1-x<1，∴y∈(-∞，1)，反解x=1-y，x=-(y<1)，-1∴f(x)=-(x<1)；-1∴综上f(x)=.类型二

7、、利用反函数概念解题-13．已知f(x)=(x≥3)，求f(5).思路点拨：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.-122解：设f(5)=x0，则f(x0)=5，即=5(x0≥3)∴x0+1=5x0-5，x0-5x0+6=0.-1解得x0=3或x0=2(舍)，∴f(5)=3.举一反三：-x【变式1】记函数y=1+3的反函数为，则g(10)=()A．2B．-2C．3D．-1(法一)依题意，函数的反函数y=-log3(x-1

8、)，因此g(10)=-2.-x(法二)依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程1+3=10，解得x=-2，即g(10)=-2.答案B.24.．设点(4，1)既在f(x)=ax+b(a<0，x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a，b的点，也就有了两个求解a，b的方程.解：解得.a=-，b=，∴f(x)=-x+.另：这个题告诉