2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺08 导数的概念及其运算（解析版）.docx

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1、2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题08导数的概念及其运算1、几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2、.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数.3基本初等函数的导数公式(1)(xα)＝αxα－1(α为常数)；(2)(ax)′＝axln_a(a>0

2、且a≠1)；(3)(logax)′＝logae＝(a>0，且a≠1)；(4)(ex)′＝ex；(5)(lnx)′＝；(6)(sinx)′＝cos_x；(7)(cosx)′＝－sin_x.4、导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0).5、复合函数的导数10/10若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.考点一、基本函数的导数知识点拨：求函数导数的总原则：先

3、化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元例1、求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝.【解析】、(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.(3)y′＝′＝＝－.变式、求下列函数的导数：(1)f(x)＝；(2)f

4、(x)＝；(3)y＝xsincos.10/10【解析】、(1)f′(x)＝＝.(2)由已知f(x)＝x－lnx＋－.∴f′(x)＝1－－＋＝.(3)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，∴y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x.考点二求导数的切线方程知识点拨：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．

5、(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．例3、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B．10/10变式1、【2018年高考全国Ⅰ

6、卷理数】设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f'(x)=3x2+1，所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x，化简可得y=x.故选D.变式2、【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函

7、数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，10/10由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D．变式3、（2020·全国高三专题练习（文））设点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离为__________．【答案】【解析】由题,过点作曲线的切线,则,设点,则,当切线与直线平行时点到该直线距离最小,则,即,所以点为,则点到直线的最小距离为,故答案为：考点三、与切线有关的参数问题知识点拨：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数

8、的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；10/10(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．例3、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．B．a=e，b=1C．D．，【答案】D【解析】∵∴切线的斜率，，将代入，