2021年高考数学备考艺考生百日冲刺1.7应用导数研究函数（解析版）.docx

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1、2021年高考数学备考艺考生百日冲刺专题1.7应用导数研究函数研究近几年高考命题可以发现，关于导数概念的独立考查极少，关于导数运算的独立考查也较少，往往是将导数运算与几何意义、导数的应用等结合在一起考查.高考对导数的应用的考查，从题型看，有两种，即客观题与主观题，作为客观题往往考查导数的基本应用，即研究函数的单调性、极（最）值；通过主观题考查导数的应用，解答题难度较大，常与不等式的证明、函数的零点、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；另外，应用导数研究生活中的优化问题，也是一个热点.预计2021年应以通过主观题考查为主.熟记常见导数公式，正确进行计算是基础.一、利用导数研究函数的单调性在内

2、可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．二、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极

3、大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．17/17三、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【典例1】（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【解析】(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单

4、调递减，当时，单调递增.【典例2】（2020·全国高考真题（文））已知函数.17/17（1）当时，讨论的单调性；【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）当时，，，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；【规律方法】1．利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f'(x)；③由f'(

5、x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.【典例3】（2020·金华市曙光学校高二月考）已知，那么单调递增区间__________；单调递减区间__________.【答案】【解析】因为,故.令可得,即.又为增函数,故当时,,单调递减；17/17当时,,单调递增.故答案为：(1)；(2)【总结提升】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间

6、，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．【典例4】（2020·安徽金安�六安一中高二开学考试（文））函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，函数的定义域为，可排除A项；17/17设，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，可得，所以函数在上单调递增，在单调递减，且.故选：B.【规律方法】1.函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数

7、的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．函数的图象与函数的导数关系的判断方法(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间