2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺9 利用导数研究函数的性质（解析版）.docx

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1、2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题09利用导数研究函数的性质1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数的极值的步骤①求f′

2、(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，

3、b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在区间(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.4.方法技巧(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.

4、所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.题型一函数的单调性知识点拨：利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的

5、定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2.利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．例1、（湖南省衡阳市第八中学2020届高三下学期高考适应性考试）已知函数f(x)=x2-cosx，则f35,f(0),f-12的大小关系是（）A．f(0)

6、5【答案】B【解析】函数f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cosx=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(0.5)=f(-0.5)，f'(x)=2x+sinx，当00，函数在0,π2上递增，∴f(0)

7、域的子区间，所以，综上可得：答案：变式2、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数，函数（）.讨论的单调性；【解析】的定义域为，，当，时，，则在上单调递增；当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；当，时，，则在上单调递减；当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；变式3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；【解析】在上是单调递增函数,在上，恒成立，即：设，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，，即.题型二、利用导数研究函数的极值与最

8、值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【解析】因为，因为函数处有极小值，所以，所以由，得或，当或时，，当时，，所以在，上是增函数，在上是减函数，因为，，所以的最大值为.变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,由于函数在上有极值点，