2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺04 函数的性质（解析版）.docx

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1、2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题04函数的性质1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A：区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有(严格的)单调性，区间I叫

2、做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.19/19结论M为最大值M为最小值3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称4.周

3、期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.　5、(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.(3)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，

4、主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.（4）函数周期性的判定：19/19（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）①若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称19/19关于轴对称的周期为

5、②若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期题型一函数性质的简单运用知识点拨：函数的性质主要是指函数的单调性、周期性、奇偶性，通过对函数性质的研究求函数的值以及简单的参数的求解。例1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，

6、19/19在区间上单调递减，符合题意.故选：AD.变式1、（2020·全国高考真题（文））设函数,则（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在(0,+∞)上单调递增，在上单调递增，而在(0,+∞)上单调递减，在上单调递减，所以函数在(0,+∞)上单调递增，在上单调递增．故选：A．变式2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则

7、A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）19/19C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C．变式2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．【答案】【解析】由题意知是奇函数，且当时，，又因为，，所以，两边取以为底数的对数，得，19/19所以，即．变式3、【2018年高考江苏】函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此变式4、【2019年高考北京理数

8、】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则