2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题20 等比数列（解析版）.docx

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1、2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题20等比数列等比数列1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式：，也可以为：3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均为的等比中项（3）若为等比数列，则有4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5、由等比数列生成的新等比数列13/13（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）

2、已知等比数列，则有①数列（为常数）为等比数列②数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列③数列为等比数列④数列为等比数列6、等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：题型一、等比数列的基本运算知识点拨：(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝。13/13例1、【2019年高考全

3、国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．变式1、【2018年高考浙江卷】已知成等比数列，且．若，则A．B．C．D．【答案】B【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此.若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；13/13因此，，故选B.变式2、（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯

4、跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为故选变式3、.【2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研】已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为_____.【答案】1【解析】由的等差数列,因为成等比数列,则,即

5、,13/13可得,则,故答案为：1题型二、等比数列的性质知识点拨：(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用例2、(1)（2018·如东中学）在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝____；(2)（2016·常熟中学）等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝___．【答案

6、】（1）（2）－【解析】　(1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a，a3a5＝a，得a＋a＝41.∵a4a8＝5，∴(a4＋a8)2＝a＋2a4a8＋a＝41＋2×5＝51.又an>0，∴a4＋a8＝.(2)由＝，a1＝－1知公比q≠1，则可得＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.变式1、(1)(2019·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)A．－B.－C.D．－或13/13(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋l

7、og2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.【答案】　(1)B　(2)5【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－.(2)由题意知a1a5＝a＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)