2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题21 数列的求和(解析版).docx

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1、2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题21数列的求和数列的求和的方法(1)等差数列求和公式:(2)等比数列求和公式:(3)错位相减法:通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用?通过解题过程我们可以发现:等比的部分使得每项的次数逐次递增,才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致(其系数即为等差部分的公差),从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件,则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和(4)裂项相消:的表达式能够拆成形如的形

2、式(),从而在求和时可以进行相邻项(或相隔几项)的相消。从而结果只存在有限几项,达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多(5)分组求和如果数列无法求出通项公式,或者无法从通项公式特点入手求和,那么可以考虑观察数列中的项,通过合理的分组进行求和(1)利用周期性求和:如果一个数列的项按某个周期循环往复,则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和,再统计前项和中含多少个周期即可(2)通项公式为分段函数(或含有15/15,多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和,则可以考虑奇数项一组,偶数项一组分别求和,但要注意两点:一是

3、序数的间隔(等差等比求和时会影响公差公比),二是要对项数的奇偶进行分类讨论(可见典型例题);若每段的通项公式无法直接求和,则可以考虑相邻项相加看是否存在规律,便于求和(3)倒序相加:若数列中的第项与倒数第项的和具备规律,在求和时可以考虑两项为一组求和,如果想避免项数的奇偶讨论,可以采取倒序相加的特点,题型一公式法例1、(2019通州、海门、启东期末)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4,则它的前5项和S5=________.【答案】62 【解析】设公比为q,因为a1=2,a3=a2+4,所以2

4、q2=2q+4,解得q=2或q=-1,因为{an}为正项数列,所以q=2,所以S5==62.变式1、.已知是等差数列的前项和,若,,则数列的前21项和为________.【答案】63【解析】由等差数列的性质可知为等差数列,且首项为,公差为,所以数列的前21项和为63.题型二、分组求和法例2、(2020届山东省日照市高三上期末联考)已知数列满足:.15/15(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项;(2)求数列的前项和.【解析】(1)证明:因为,所以.因为所以所以.又,所以是首项为,公比为2的等比数列,所以.(2)解

5、:由(1)可得,所以.变式、数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于________.15/15【答案】n2+1-.【解析】:Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+=n2+1-.变式2、.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17=________.【答案】9【解析】:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.题型三

6、、裂项相消法例3、(2020届山东省九校高三上学期联考)已知数列是等比数列,且,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【解析】(1)设数列的公比为,∵,∴,∴,∵,15/15∴,∴,即:,解得:.∴,∴.(2),∴.变式1、(2020届山东省德州市高三上期末)已知数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.15/15【解析】(1)当时,,整理得,,解得;当时,①,可得②,①-②得,即,化简得,因为,,所以,从而是以为首项,公差为的等差数列,所以;(2)由(1)知

7、,因为,.题型四、错位相减法例4、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列,为,的等差中项.(1)求的公比;(2)若,求数列的前项和.15/15【解析】(1)设的公比为,由题设得即.所以解得(舍去),.故的公比为.(2)设为的前n项和.由(1)及题设可得,.所以,.可得所以.变式1、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)设等差数列的前项和为,且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,解得.所以.15/15(Ⅱ)因此.所以,,相减得.故:.变式2、(

8、2020届山东省烟台市高三上期末)已知数列的前项和满足,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【解析】(1)因为,,所以,,两式相减得,整理得,即,,所以为常数列,所以,15/15所以(2)由(1),,所以两式相减得:,,化简得1、(2020届山东省临沂市高三上期末)设,向量,,.(1)试问数列是否为等差数列?为什么?(2)求数列的前项和.【

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