2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题12 三角恒等变换（解析版）.docx

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1、2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题12三角恒等变换一、基础知识回顾知识点1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ　(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ　(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ　(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ　(S(α＋β))tan(α－β)＝　(T(α－β))tan(α＋β)＝　(T(α＋β))知识点2、二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；ta

2、n2α＝.知识点3、在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－＝－1.知识点4、函数f(x)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)(其中tanφ＝)或f(α)＝cos(α－φ)(其中tanφ＝).知识点5、(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值

3、；③化分子、分母出现公约数进行约分求值.(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.知识点6、方法与技巧1.巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，配方变形：1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.由y＝asinα＋bcosα＝sin

4、(α＋φ)(其中tanφ＝)有≥

5、y

6、.3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.题型一、两角和与差正弦、余弦、正切及二倍角的简单运用知识点拨：熟练掌握两角和与差正弦、余弦、正切及二倍角的公式，以及公式的变形使用。例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则A．B．C．D．【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），

7、又.故选：A．变式1、【2020年高考浙江】已知，则_______，_______．【答案】；【解析】，，故答案为：变式2、【2019年高考江苏卷】已知，则的值是▲.【答案】【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，变式3、(2019南京学情调研）已知α，β为钝角，且sinα＝，cos2β＝－.(1)求tanβ的值；(2)求cos(2α＋β)的值．【解析】(1)因为cos2β＝－，cos2β＝2cos2β－1，所以2cos2β－1＝－，解得cos2β＝.(2分)因为β为钝角，所以cosβ＝－.从而sinβ＝＝＝.(5分)所以tanβ＝＝＝－2.(7分)(2)因为α为钝角，si

8、nα＝，所以cosα＝－＝－＝－.(9分)所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.(11分)从而cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝×－×＝.(14分)题型二、变角问题知识点拨：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。例2、（2020·全国高三专题练习（文））已知，，则________.【答案】【解析】因为，所以且，所以；又，所以.故答案为：.变式1、【2018年高考江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2

9、）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．变式2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，.故选：A题型三、求角问题知识点拨：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。例3、(2019苏州期初调查）已知cosα＝，α∈.(1)求sin的值；(2)若cos(α