高二数学人教A版选修4-53.2一般形式的柯西不等式导学案Word版含解析.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3.2一般形式的柯西不等式案一、目及范1．掌握三形式和多形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决．二、要点教材整理1三形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋b23)≥.当且当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)，等号成立．我把不等式称三形式的柯西不等式．教材整理2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，⋯，an，b1，

2、b2，b3，⋯，bn是数，222222≥.当且当bi＝0(i＝1,2，⋯，n)(a1＋a2＋⋯＋an)(b1＋b2＋⋯＋bn)或存在一个数k，使得ai＝(i＝1,2，⋯，n)，等号成立．三、222的最小是()1.已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，x＋y＋zA．11C.2D．2B.332.已知a12＋a22＋⋯＋an2＝1，x12＋x22＋⋯＋xn2＝1，a1x1＋a2x2＋⋯＋anxn的最大是()A．1B．2C．3D.4[来源学&科&网]3．a，b，c正数，(a＋b＋c)4＋9＋36的最小____

3、____.abc探究案一、合作探究型一、利用柯西不等式求最例1已知a，b，c∈(0，＋∞)，1＋2＋3＝2，求a＋2b＋3c的最小及取得最小a，abcb，c的．【精彩点】由于1＋2＋3＝2，可考把已知条件与待求式子合起来，利用柯西不abc等式求解．[再一]1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯型二、运用柯西不等式求参数的取范例2已知正数x，y，z足x＋y＋z＝xyz，且不等式1＋1＋1x＋y

4、y＋zz＋x≤λ恒成立，求λ的取范．【精彩点】“恒成立”需求1＋1＋1的最大，法用柯西不等式求x＋yy＋zz＋x最．[来源:Z_xx_k.Com][再一]2．已知数a，b，c，d足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的取范围.型三、利用柯西不等式明不等式例3已知a，b，c∈R＋，求：a＋b＋cb＋c＋a≥9.bcaabc【精彩点】三形式的柯西不等式，a＝a，a＝1b2b2＝c，b3＝a，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得．bcb，a＝c，b＝b，c3a1a[再一]3．已

5、知函数f(x)＝m－

6、x－2

7、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集[－1,1]．(1)求m的；＋111(2)若a，b，c∈R，且a＋2b＋3c＝m，求：a＋2b＋3c≥9.二、随堂1．a＝(－2,1,2)，

8、b

9、＝6，a·b的最小()A．18B．6C．－18D.122．若a1222222＋a2＋⋯＋an＝1，b1＋b2＋⋯＋bn＝4，a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn的取范是()[来源学科网ZXXK]A．(－∞，2)B．[－2,2]C．(－∞，2]D.[－1,1]3．a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，

10、ma＋nb＝5，m2＋n2的最小________．2121⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯参考答案：222＝12＋122222121【.解析】根据柯西不等式，x＋y＋z3(1＋1)·(x＋y＋z)≥×x＋1×y＋1×z)3(1＝1(x＋y＋z)2＝1.33【答案】B2.【解析】11＋a22＋⋯＋ann212＋a22＋⋯＋an212＋x22＋⋯＋xn2)＝1×1＝1，当且(axxx)≤(a)(xx1x2xn当a1＝a2＝⋯＝an＝1取等号，∴

11、a1x1＋a2x2＋⋯＋anxn的最大是1.【答案】A3.【解析】由a，b，c正数，[来源学科网Z.X.X.K]∴(a＋b＋c)4a＋9b＋36c＝[(2＋(2222＋＋3262a)b)＋(c)]ab＋c≥2＋362＝121，a·b·＋c·abc当且当a2＝b3＝c6＝k(k>0)等号成立．故(a＋b＋c)4＋9＋36的最小是121.abc【答案】随堂：[来源:Zxxk.Com]1.【解析】

12、a·b

13、≤

14、a

15、

16、b

17、，∴

18、a·b

19、≤18.∴－18≤a·b≤18，当a，b反向，a·b最小，最小－18.【答

20、案】C2.【解析】∵(a21＋a22＋⋯＋a2n)(b21＋b22＋⋯＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn)2，∴(a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn)2≤4，∴

21、a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn

22、≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn≤2，1当且当ai＝bi(i＝1,2，⋯，n)，右等号成立；当且当ai＝－1bi(i＝1,2，⋯，n)，左等号成立，故B.2【答案】B3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯