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《高中数学竞赛讲义-同余新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§27同余1．m是一个定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，称a与b模同余，作ab(modm)，否，就a与b模m不同余，作ab(modm)，然，ab(modm)akmb,(kZ)m
2、(ab)；每一个整数a恰与1，2，⋯⋯，m，m个数中的某一个同余；2.同余的性：1).反身性：aa(modm)；2).称性：ab(modm)ba(modm)；3).若ab(modm)，bc(modm)则ac(modm);4).若a1b1(modm)，a2b2(modm)，a1a2b1b2(modm)特是ab(modm)akbk(modm)；5).若a1b1(modm)，a2b2(modm)，a1
3、a2b1b2(modm)；特是ab(modm),kZ则akbk(modm)ab(modm),nN则anbn(modm)；6).a(bc)abac(modm)；7).若acbc(modm),则当(c,m)1时，ab(modm)当(c,m)d时，ab(modm).特别地，acbc(momcd)ab(momd)；d8).若ab(modm1)，ab(modm2)ab(modm3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯ab(modmn)，且M[m1,m2,mn]，则ab(modM)例题讲解1．明：完全平方数模4同余于0或1；2．明于任何整数k0,26k136k156k1能被7整除；用心爱心专心-1-3．判断19712619
4、7227197328能被3整除？4．能否把1，2，⋯⋯，1980这1980个数分成四，令每数之和S1，S2，S3，S4，且足S2S1，＝10，S3S2＝10，S4S3＝10；5．在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相若干数之和，能被11整除的数共有多少。6．f(x)a0xna1xn1a2xn2an1x1an是整系数多式，明：若f(0),f(1),,f(1992)都不能被1992整除，则f(x)没有整数根；7n2n1被3整除的自然数n；．求出一切可使8．在每卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把些卡片按任意序排成一列，明所得到的444445位数不可
5、能是2的；9．a1,a2,an,是任意一个具有性akak1,(k1)的正整数的无数列，求可以把个数列的无多个am用适当的正整数x,y表示为amxapyaq,(pq)用心爱心专心-2-例题答案：1．证明：设n是任一整数，则n2k或者n2k1,kZ;当n2k时，n24k20(mod4);当n2k1时，n2（2k1)21(mod4);所以原命题成立；2.证：令M26k136k156k1M226k336k56k1264k3729k15625k12(791)k3(71041)k(722321)k127A237B37C11(2311)(mod7)0(mod7)对于k0,且kZ,26k136k156k
6、1都能被7整除；注：a1(modb)ak1(modb),kZ3.解：19710(mod3),19721(mod3),19732(mod3)197126197227197328(026127228)(mod3)即：26197227197328(1228)(mod3)1971又2284141(mod3),(1228)2(mod3)197126197227197328不能被3整除；4.解：依题意可知：TS1S2S3S4＝S1S110S120S130T4S1600(mod4)又T12319801980198199019812(mod4)2产生矛盾，不能这样分组；解：记数列各对应项为，并记Ska1
7、a25.ai,i1,2,10S1,S2,,S10依次为1、5，13、23、39、58、79、104、134、177它们被11除的余数依次为：1、5、2、1、6、3、2、5、2、1由此可得：S1S4(mod11)S10(mod11),S2S8(mod11),S3由于SkSj是数列{ai}相邻项之和，且当SkSj(mod11)时，11
8、SkSj，则满足条件的数组有：组3137akS7(mod11)S9(mod11)用心爱心专心-3-证：假设f(x)有整数根，且mr(mod1992),0r19926.m由题意f(r)不能被整除，1992f(m)0,则f(r)f(m)f(r)又f(r)f(m)
9、a0(rnmn)a1(rn1mn1)an1(rm)mr(mod1992)miri(mod1992),i、、、、n123miri0(mod1992),i、、、、n1231992
10、f(r)f(m)f(r)产生矛盾，f(x)没有整数根7.解：若3
11、n2n1，则n2n2(mod3)考虑到n及2n，则当n6k时，、、、)1(k012n2n(6k1)26k1(12k2)(31)k2(mod3)当n6k时，、、、)2(k012n2n(6k2)26
