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《高二数学竞赛培训讲义-同余(无答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、同余(一)知识、技能、方法一、同余的概念及性质定义：设州是一个给定的正整数，如果两个整数6Z，b用ZZ2除所得的余数相同，则称6/，b对模m同余，记为Pb(mod/;?);若所得的余数不相同，称6/，b对模m不同余，记为tz声b(modin).例如，15=7(mod4)，—23=12(mod7).当时,a=b(modzn),贝1J称b是tz对模zn的最小非负剩余.同余有如下两种等价定义法：①若—则称6/、b对模m同余；②若(fEZ)，则称6?、b对模m同余.性质:(1)a=0(modm)<=>ma:(2)a=6f(modm)(反身性)a=/?(modm)<=>/?=a(modm)(对称性)a
2、=b(modm)}^=>^=c(modm)(俾递性)b=c(modm)J(3)若“三Z?(modm),(;三d(modm),贝ij①tz土c三Z?±t/(modm);②ac=bd(modtn).(4)若anxn++++•••+Z?,x+/?0(modm).特别地，设+…+«lx+tz0(“/.eZ)，<7=Z?(modin),则/⑻三/(Z?)(modm).m(5)若ac三/?
3、?(modm),而t/
4、m(t/〉0)，则6/三/?(modc/).(7)设tz三/?(modm),①若c〉0，则tzc三^c(modme)；nhm(gw为么b、m的任一公约数，则一三二(mod—).ddd(8)若6/三/?(mod)，tz=/?(modm2)J=L(m,,An2)=1,W'Ja=b(mod(9)若6/三/?(modm)，则(“，m)=(Z?,m)•(10)每一个整数恰与0，1，…，这/w个数中的某一个对模m同余.二、剩余类和完全剩余系(1)剩余类：设mEN*，把全体整数按其对模w的余数〃((Xr彡m—1)归于一类，记人Jkt.，每一赘kr(r=0，1，…，m—1)均称模m的剩
5、余类(也称力同余类).根据定义，剩余类具有如下性质：①Z其巾=夕(/矣力；②对任一数nez,有惟一的A使ne;③对任意的fl，/?ez,a,bekr«=/?(modm).(2)完全剩余类：设，…，<_,是模m的(全部)剩余类，从每个久.中任取一个数久，这/n个数％，组成的一个组称为模m的一个完全剩余系，简称完系.显然，模zzz的完全剩余系有无穷多个，但最常用的是下面两种：①非负数最小完全剩余系：0,1,2,…，m—1;②绝对值最小完全剩余系：它随m的奇偶性不同而略有区别.当m=2々+l时为-々，-(々-1)，".，-1，0，1，".，(々-1)，々(对利:式)当zn=21时为一(々—1)，_(
6、々一2)，.••，一1，0,1，(众_I)，众或—k，—、k—1)，…，一1，0，1，…，(众—1)由定义不难得到如下判别完全剩余系的方法：定理一：w个整数％，％，…，是模的一个完系<=>当//j*时，a^modm).定理二：设(b，/w)=1，c为任意整数，若a,，％，•••,6Zn为一个完系，则+c，Z?a,+(?，•••，Z?«w+c也是模m的一个完全剩余系.特别地，任意m个连续整数构成模m的一个完全剩余系.(1)欧拉函数：设m为一正整数，用记号例m)表示0，1，…，/n—1屮与/zz互质的数的个数，把识(m)称为欧拉函数.(2)简化剩余系：如果一个模m的剩余类<屮任一数与m互质，则称是
7、与模w互质的剩余类；在与模m互质的每个剩余类中任取一个数(共识(爪)个)所组成的数组，称为模m的一个简化剩余系.定理三：$，《2,…，是模，7?的简化剩余系<=^>(ai，m)=1且％声七(modm)(z/y,/,7=1,2,••-炉(m))•(判别方法)定理四：在模/zz的一个完全剩余系屮，取出所有与/zz互质的数组成的数组，就是一个模m的简化剩余系.(构造方法)定理五：没％,«2,…，％⑽是模//?的简化剩余系，若777)=1，则，…，也是模/n的简化剩余系.三、一次同余方程(1)设f(x)-anxn+cin_xxn~[+…+qx+%为x的整系数多项式，同余式/(%)=0(modm),an
8、0(modm)叫做一元h次同余方程；若c使得f(c)=0(modm)成立，则*三c(mod州)叫做同余方程/(又)三0(modm)的一个解.(2)ax=/?(modm)(其中m/<3)称为一次同余方程.定理一：若(“，m)=l：贝!]arE/?(modw)有一个解.定理二：若(6/，m)=〉1，d^b,则or三/?(modm)无解，其中fz笋0(mod/7?).定理三：若(a，m)=d〉1，则6z
