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《高中数学竞赛讲义不等式的应用新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§15不等式的应用1．排序不等式（又称排序原理）有两个有序数a1a2an及b1b2bn.则a1b1a2b2anbn（同序和）a1bj1a2bj2anbjn（乱序和）a1bna2bn1anb1（逆序和）其中j1,j2,,jn是1，2，⋯，n的任一排列.当且仅当a1a2an或b1b2bn等号（任一排列j1,j2,,jn）成立.2．用排序不等式可明“平均不等式”：有n个正数a1,a2,,an的算平均数和几何平均数分是Ana1a2an和Gnna1a2ann此外，有和平均数（在光学及路分析中要用到Hnn，111a1a2an和平方平均（在学及差分析中用到）Qa12a22
2、an2nnnn.○*四个平均有以下关系HGQnnA3．用算平均数——几何平均数不等式，可用来明下述重要不等式.柯西（Cavchy）不等式：a1、a2、a3，⋯，an是任意数，(a1b1a2b2anbn)2(a12a22an2)(b12b22bn2).等号当且当bikai(k常数，i1,2,,n)成立.4．利用排序不等式可明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若a1a2an，b1b2bn，则a1b1a2b2anbna1a2anb1b2nbn.nn用心爱心专心例题讲解1．a,b,c0,求证：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc.abc2．a,b,c0，求证：
3、aabbcc(abc)3.3．：a,b,cR,求证abca2b2b2c2c2a2a3b3c3.2c2a2bbccaab4．设a,a,,anN*，且各不相同，12求证：1111a1a2a3an..23n2232n2用心爱心专心5．利用基本不等式证明a2b2c2abbcca.6．已知ab1,a,b0,求证：a4b41.87．利用排序不等式证明GnAn8．证明：对于任意正整数R，有(11)n(11)n1.nn1用心爱心专心111119．n为正整数，证明：n[(1n)n(n1)nn1.1]13n2n例题答案：1.证明：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abca(
4、b2c22bc)b(a2c22ac)c(a2b22ab)a(bc)2b(ca)2c(ab)20ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc.评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明a2b2c2abbcca时，可将a2b2(abbcca)配方为1[(ab)2(bc)2(ca)2]，亦可利用a2b22ab,2b2c22bc,c2a22ca，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.不等式关于a,b,c对称，不妨abc,则a
5、b,bc,acabR，且,，a都大于等于1.bccaabbcc2abc2bac2cab3b3c3aabca(abc)3(a)a3b(b)b3c(a)a3c1.bccabacbabccacb3a3b3b3c3c3评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n个字母的大小顺序，可方便解题.（2）本题可作如下推广：若ai0(i1,2,,n),则a1a1a2a2anana1a2an(a1a2an)n.（3）本题还可用其他方法得证。因aabbabba，同理bbccbccb,ccaacaac，用心爱心专心另aabbccaabbcc，4式相乘即得证.（4）设abc0,则lga
6、lgblgc.例3等价于algablgbalgbblga,类似例4可证algablgbclgcalgbblgcclgaalgcblgbclga.事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组a1a2an,b1b2bn，则a1b1a2b2anbn（顺序和）a1bja2bj2anbjn（乱序和）1a1bna1bn1anb1（逆序和）其中j1,j2,,jn是1,2,,n的任一排列.当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立.排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式.如abcR时,a3b3c3a2bb2c
7、c2aa2ab2bc2c,,a2bb2cc2a;a2b2c2abca21b21c21a21b21c21.bcabcaabc3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.不妨设abc,则a2b2c2,111，则a21b21c21（乱序和）cbacaba21b21c21（逆序和），同理a21b21c21（乱序和）abccaba21b21c21（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数abc组a3b3c3及111，仿上可证第二个不等式.bcacab4.分析：不等式右边各项ai1；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.
8、i2ai2i设b1,b2,,bn是a1,a2,,an
