吉大《控制工程基础》第二章 控制系统的数学模型 课堂笔记.doc

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1、吉大《控制工程基础》第二章控制系统的数学模型课堂笔记u主要知识点掌握程度了解并掌握控制系统的时域数学模型、复域数学模型和结构图等基本知识，重点学习控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程的方法、传递函数的概念和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念等。u知识点整理一、控制系统的时域数学模型系统的数学模型是指描述物理系统的物理模型的数学方程式，物理模型是一个理想化的物理系统。（一）线性元件的微分方程例1：下图为由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，列写以ui(t)为输入量，以uo(t)为输出量的微分方程。设回路电流为i(t)，由

2、基尔霍夫定律可写出回路方程，然后消去中间变量i(t)，便得到输入输出关系的微分方程，即时域数学模型。例2：如下图弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统，求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动，设系统已处于平衡状态，相对于初始状态位移、速度、加速度为零。1、列写元件微分方程的步骤（1）一定条件下简化系统为物理模型；（2）确定元件的输入量、输出量；（3）由物理或化学规律，列写微分方程；（4）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程。2、列写数学模型的方法（1）分析法分析系统内部各部分运动机理，然后列写相应的方程，最后求取系统的数学模型。（2）试验法人为加入测试信号，记录输出用

3、数学模型逼近。（二）控制系统微分方程的建立1、基本步骤（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）；（2）列写各方框图或各元件的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（齿轮系对电机的转动惯量的影响）和信号传递的单向性；（3）消去中间变量得到输入输出的数学方程。2、相似系统比较例1的R-L-C电路运动方程与例2的M-S-D机械系统运动方程知均为二阶微分方程，在物理学上的不同系统拥有相同的数学本质，由此提出相似系统的概念。相似系统：提示了不同物理现象之间的相似关系。（三）线性系统的基本特性用线性微分方程元件或系统称为线性元件或线性

4、系统。1、叠加性两个或多个外作用加于系统产生的输出等于各个外作用分别作用于系统产生的输出之和。2、均匀性（齐次性）外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。（四）非线性元件微分方程的线性化实际的物理元件都存在一定的非线性，如弹簧系数是位移的函数并非常值；电阻、电容、电感等参数与周围环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的电流有关，也非常值，为简化模型需将其视为线性元件，从而提出线性化的方法。小偏差线性化法（切线法）在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。缺点是只能列出局部点的平衡方程。（五）拉氏变换及应用控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，当系统的结构

5、改变或某个参数变化时，需重新列写并求解微分方程，不便对系统进行分析和设计，采用拉氏变换可在求解线性系统微分方程的同时得到控制系统在复数域的数学模型——传递函数。1、拉氏变换的定义如，其中为复变量存在称为的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记作，其中或，称为的象函数，为的原函数。2、拉氏反变换的定义3、拉氏变换的性质（1）线性性质已知，，a,b为常数，则有。（2）微分性质设，则，式中是函数在t=0时的值。可扩展到高阶导数：（3）积分性质设，则，式中是函数在t=0时的值，同伴可扩展到多重积分。（4）初值定理若函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数的初值为，即原函数在自变量趋于零（从正向趋于零）时的

6、极限值，取决于其象函数在自变量趋于无穷大时的极限值。（5）终值定理若函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数的终值为，即原函数在自变量趋于无穷大时的极限值，取决于象函数在自变量趋于零时的极限值，常用于计算误差。（6）位移定理设，则有，。（7）卷积定理设，，则有。4、拉氏反变换，系数均为实常数，m

7、ce变换之比，称为该系统（环节或元件）的传递函数G(S)。数学说明：线性定常系统微分方程如下：(2.2.1)输入、输出的初始条件均为零时，作Laplace变换可得：(2.2.2)由定义可得：(2.2.3)将式（2.2.3）画成方框图，如图2.2.1所示。图2.2.1系统框图则：1、传递函数的性质（1）因果系统的传递函数是s的有理真分式函数，具有复变函数的性质，零状态下定义的有局限性；（2）传递函数取决于系统或