有限元法基础-9杆系结构力学问题教学提纲.ppt

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1、有限元法基础-9杆系结构力学问题9.杆件结构力学问题关键概念结构单元C1连续经典梁理论Timoshenko梁理论平面杆系空间杆系剪切自锁（shearlocking)有限元法基础29.1结构单元概论结构单元杆－梁单元板壳单元特点：1）在一个方向或二个方向上的几何尺度远小于其他方向；2）引入一定的假设，相应简化为一维或二维问题。有限元法基础结构单元39.1结构单元概论使用实体单元计算结构问题，理论上是可行的引起的问题1）如果划分网格适应结构特点，使单元的一个方向或两个方向的尺度比其他方向小很多，将使单元刚度系数差异过大，影响求解精度2）保持单元各个方向的尺度

2、接近，将导致单元总数过分庞大有限元法基础49.1结构单元概论例：一由三个弹簧单元组成的系统，单元刚度为K1＝K2＝105，K3＝1，施加于节点的轴力为P2＝0，P1＝P3＝1。利用5为有效数字的算法求解位移。有限元法基础59.1结构单元概论系统平衡方程有限元法基础69.1结构单元概论代入数据高斯消去法求解有限元法基础求解失败100000＋1＝10000079.1结构单元概论解决办法1）提高计算有效位数有限元法基础89.1结构单元概论2）相对自由度方法(relativeDOF)令代入有限元方程有限元法基础99.1结构单元概论3）主从自由度方法（master

3、-slaveDOF）分析系统的特点，由于，近似地认为将u3作为主自由度，其他为从自由度。只需对u3进行建立平衡条件由于假设产生了误差。有限元法基础109.1结构单元概论基于主从自由度原理的梁单元和板壳单元结构力学中的梁理论和板壳理论引入变形假设实际上正是应用了主从自由度的原理，将问题归结为中面位移。基于相对自由度的梁单元和板壳单元这类单元本质上是二维、三维实体单元，为使中面法线变形后保持直线，沿厚度方向只设置两个节点，其中一个保持原来意义上的自由度，另一个节点的自由度用它与上述节点的相对位移来代替。有限元法基础119.2等截面直杆-梁单元一.杆单元承受轴

4、向拉压载荷，并只经历轴向拉压变形的细长构件，称为杆（Rod）。假设：应力在截面上均匀分布，原来垂直于轴线的截面变形后仍然垂直于轴线。有限元法基础129.2等截面直杆-梁单元直杆的基本方程几何关系本构方程平衡方程端部条件有限元法基础139.2等截面直杆-梁单元最小势能原理有限元法基础149.2等截面直杆-梁单元单元列式位移插值函数其中N＝[N1,N2,…,Nn],qe＝[u1,u2,…,un]T坐标变换2节点单元3节点单元有限元法基础159.2等截面直杆-梁单元单元矩阵由变分原理变分取驻值，得有限元方程其中有限元法基础169.2等截面直杆-梁单元二.扭转单

5、元几何关系本构关系平衡方程端部条件一般m(x)＝0，在端部给定扭矩M。有限元法基础179.2等截面直杆-梁单元最小势能原理设转角的插值函数为单元刚度矩阵有限元法基础189.2等截面直杆-梁单元扭转单元的限制1）采用自由扭转理论，截面在变形后依然保持平面，这只适用于圆截面情形；2）在约束扭转时，截面将发生翘曲，需引入翘曲修正因子；3）只有在截面有两个对称轴时，如圆、椭圆矩形，截面才是绕形心转动。有限元法基础199.2等截面直杆-梁单元三.梁单元有限元法基础经典梁理论假设：变形前垂直于中心线的截面，变形后仍保持为平面，且垂直于中心线。209.2等截面直杆-梁

6、单元基本方程几何方程本构关系平衡方程端部条件有限元法基础219.2等截面直杆-梁单元最小势能原理本质边界条件：位移端部条件自然边界条件：力的端部条件有限元法基础端部条件本质边界条件自然边界条件简支固定自由229.2等截面直杆-梁单元单元列式梁弯曲是C1类问题，采用Hermite插值有限元法基础239.2等截面直杆-梁单元将插值函数代入泛函，由得到有限元方程单元刚度矩阵为有限元法基础249.2等截面直杆-梁单元4.考虑剪切变形的梁单元经典梁理论只适用于细长梁，即梁高远小于跨度。有限元法基础变形假设变形前垂直于中线的截面，变形后仍然保持平面，但不再垂直于中线

7、。259.2等截面直杆-梁单元剪切变形曲率与转角的关系最小势能原理有限元法基础折剪系数269.2等截面直杆-梁单元关于折剪系数由于变形假设，剪应力在截面上为常数，但是，实际情况剪应力不是均匀分布的，而是按抛物线分布。因此需引进校正因子，剪力和剪应变的关系为k的值因截面形状的不同而异，一般按能量等效的方法计算，即简化后的剪切应变能与实际剪应力和剪应变分布计算的应变能相等。有限元法基础279.2等截面直杆-梁单元单元列式位移插值单元刚度矩阵有限元法基础289.2等截面直杆-梁单元载荷项其他矩阵的定义有限元法基础299.2等截面直杆-梁单元剪切自锁（Shear

8、locking）以2节点单元为例，有有限元法基础精确积分：2个积分点矩阵秩为23