第9章_杆件结构力学问题有限单元法ppt课件.ppt

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1、第9章杆件结构力学问题的有限元法结构单元（梁杆单元、板壳单元）的几何特点，力学假设和在有限元分析中可能遇到的困难及解决方案。本章要点经典梁单元和Timoshenko梁单元在力学理论和有限元分析中的相同点和不同点；有限元分析中Timoshenko梁单元刚度矩阵的特点和保证其有准确解答的数值方案。杆件结构力学问题的有限元法一维梁单元概论结构力学问题所遇到的困难实体单元分析结构力学问题：某一方向尺寸相对为小量若遵循合理的单元形态很密的网格计算规模大大上升增大单元的长宽比各个方向刚度相差很大方程病态一维梁单元例方程为概论一维梁单元如采用5位有效数字二次消元后系数矩阵奇异概论解决的办法主从自由度u

2、3主自由度;u1和u2从自由度含义：为无限大近似解采用中面挠度为主自由度，上下表面点的挠度为从自由度。即，近似假设梁高方向（厚度方向）变形相对其它变形为小量。相当于概论解决的办法相对自由度概论解决的办法相对自由度代入原方程，并用前乘方程两端可得：概论等截面直杆-梁单元受轴向载荷作用的等截面直杆轴向载荷x,uf(x)p1p2p3x1x2x3边界条件几何方程平衡方程物理方程分布载荷f(x)集中载荷P1,P2,…或端部给定位移端部给定载荷轴力杆单元受轴向载荷作用的等截面直杆梁的总势能泛函x,uf(x)p1p2p3x1x2x3等截面直杆-梁单元轴力杆单元轴力杆单元单元内位移一维拉格朗日多项式n单元结

3、点数单元内自然坐标xcx1x,uu2x2u11=-11=+1l等截面直杆-梁单元轴力杆单元2结点单元xcx1x,uu2x2u11=-11=+1l3结点单元轴力杆单元等截面直杆-梁单元代入泛函轴力杆单元等截面直杆-梁单元中面法线变形后仍保持与中面垂直经典梁理论梁截面梁中面zxolq平衡方程边界条件等截面直杆-梁单元梁截面梁中面zxolq几何关系应力应变关系平衡方程经典梁理论等截面直杆-梁单元梁截面梁中面zxolq边界条件或或经典梁理论等截面直杆-梁单元梁的总势能泛函广义应变广义位移在泛函内w的最高阶导数m=2，所以C1型问题。经典梁理论等截面直杆-梁单元梁的总势能泛函一切许可的挠

4、度函数（满足位移边界条件的单值连续函数）中，其真解使系统的总势能取驻值。（这里取极小值）即经典梁理论等截面直杆-梁单元弯曲梁单元经典梁单元C1型单元长度2结点Hermite单元等截面直杆-梁单元弯曲梁单元2结点Hermite单元内挠度函数w()的插值表示其中等截面直杆-梁单元弯曲梁单元Ni采用Hermite插值法显然满足插值函数的要求等截面直杆-梁单元弯曲梁单元代入p(w)式,并由p(w)=0得其中等截面直杆-梁单元弯曲梁单元等效结点载荷若则注(1)应用范围(2)C1型单元等截面直杆-梁单元原来垂直于中面的截面变形后仍保持为平面考虑剪切变形的Timoshenko梁理论剪切变形曲率经典

5、梁理论等截面直杆-梁单元泛函其中k表示截面剪切修正因子此处假设变形后,截面仍保持平面,即剪应变(剪应力)平均分布.弯曲应变能剪切应变能G剪切弹性模量截面剪切变形能等截面直杆-梁单元剪应力非均匀分布实际上剪应变和剪应力在截面上不是均匀分布，而是按抛物线分布，在中面达到最大值,在上下表面等于0，因而截面也不再是平面.因此需要引入修正因子．等截面直杆-梁单元剪应力非均匀分布情况下的剪切变形能修正后剪应力修正后截面剪切变形能等截面直杆-梁单元不同的修正方法，因子k则有不同的取值．考虑剪切应变能与实际剪应力剪应变所得结果相等时矩形截面圆形截面若剪应力取实际剪应力的平均值时矩形截面圆形截面等截面直杆-

6、梁单元不考虑剪切变形的经典粱问题C1型问题，场函数的最高阶导数m=2,根据收敛性要求，场函数在单元边界上m-1阶连续(一阶连续)。应变能外力势能集中载荷约束条件(直法线假设)等截面直杆-梁单元分布载荷考虑剪切变形梁问题(Timoshenko梁)C0型问题。,w独立插值。剪切变形能外力势能应变能等截面直杆-梁单元从另一角度：经典梁考虑剪切变形修正泛函与Timoshenko梁单元比较起罚函数作用使经典梁问题C1问题C0问题处理等截面直杆-梁单元Timoshenko梁单元(以二结点为例,每个结点)Timoshenko梁单元的基本特点是挠度w和截面的转动各自独立插值单元的位移场与单元的插值函数等

7、截面直杆-梁单元Timoshenko梁单元(以二结点为例,每个结点)Lagrange插值等截面直杆-梁单元离散，建立近似场函数等截面直杆-梁单元对泛函变分得到等截面直杆-梁单元对于梁问题可以得到下面表达式规则化后等截面直杆-梁单元整理可得或即有其中等截面直杆-梁单元弯曲应变矩阵剪切应变矩阵等截面直杆-梁单元对上述单元，与作如下分析弯曲应变矩阵等截面直杆-梁单元对上述单元，与作如下分析弯曲应变矩阵等截面直杆-梁