有限元法(杆系结构单元)ppt课件.ppt

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1、第五章杆系结构单元5.1概述杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆元和梁元。○○○○○○○○○梁拱框架○○○○○桁架结构离散取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节点编号时力求单元两端点号差最小。坐标系有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。XY○○○○○Pxyxy杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁

2、单元两种类型。它们都只有2个节点i、j。约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。y轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。对于梁单元，y轴和z轴分别为横截面上的两个惯性主轴。xyzij··5.2杆单元下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px。单元有2个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。··ijxlLINKpxujui1、一维杆单元单元结点力向量：（1）位移模式和形函数①位移模式单元结点位移向量因为只有2个结点，每个

3、结点位移只有1个自由度，因此单元的位移模式可设为：（5-3）式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件x=xi时，u=uix=xj时，u=uj确定。再将由此确定的a1、a2其代入式（5-3），得（5-4）a1a2②形函数将式（5-4）改写为下列形式（5-5）式中形函数[N]为（5-6）（2）应变矩阵一维铰接杆单元仅有轴向应变将式（5-5）、（5-6）代入上式，得上式也可写为（5-7）式中[B]为应变矩阵（5-8）由应力应变关系（3）应力矩阵将式（5-7）代入上式，得（5-9）式中[S]为应力矩阵（5-10）(

4、4)单元刚度矩阵单元刚度矩阵仍式（1-33）推出（1-33）对于等截面铰接杆单元（截面积为A），v=Adx，故有：(5-11)(5)等效节点力单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍为以下形式当分布力集度px为常数时，有（5-13）（5-12）将式（5-8）代入上式，得例5-1一维拉杆图示阶梯形直杆，各段长度均为l，横截面积分别为3A，2A，A，材料重度为γ，弹性模量E。求结点位移和各段杆中内力。离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。单元刚度矩阵：122334等效结点荷载：按静力等效原则，有:对号入座，

5、组成总刚，形成整体结构平衡方程:设结点1的约束反力为F1，则有:整体结构平衡方程划去节点1所对应的第1行、行1列。解得结点位移单元应力单元轴力单元应变：2、平面桁架杆单元（2DLINK1）1234ijxyl（1）单元坐标单元位移向量1234ijxy看成局部坐标下的拉压杆（5-15）应力矩阵（5-16）应变矩阵（5-17）单元刚度矩阵（5-14）形函数（5-16）等效节点力静力等效ijxylz3、空间杆单元（3DLINK8）（1）单元坐标单元位移向量124536（5-18）（2）形函

6、数（5-19）（3）应变矩阵（5-20）（4）应力矩阵（5-21）(5)等价节点力（5-22）(6)单元坐标单元刚度矩阵对于等截面铰接杆单元，（5-23）5.4梁单元1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元ijxyijxy1234lF1F2F3F4l（1）局部坐标下单元位移和单元力①单元位移（5-24）其中，v——y方向位移，即挠度。——角位移。②单元力（5-26）其中，Q——剪力M——弯矩（5-27）（2）位移函数和形函数（5-28）①位移模式设单元坐标位移模式为②形函数由单元两端点的节点位移条件，解出

7、式（5-28）中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写为以下形式：ijxy1234l梁单元内一点有2个位移：v、因为，=dv/dx；仅一个位移是独立的，取v。（5-29）式中（5-30）（5-31）（3）应变矩阵①单元弯曲应变b与节点位移e的关系。梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：1xy（5-32）1y将式（5-29）代入（5-32），得单元弯曲应变和单元位移之间关系（5-34）（5-33）（4）应力矩阵（5-35）[D][B](5)等效节点力对于梁上作用的集中

8、力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。这里仅考虑把单元上的横向分布载荷转化为等价节点力问题。xyijlpy(x)（5-36）将形函数矩阵[N]代入上式，积分可得分布荷载的等效结点力。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。荷载分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2-ql2/123ql/20ql2/307ql/20-ql2/20ql/45ql2/96ql/4-5q