哈尔滨工业大学结构力学-杆系有限元

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1、土木工程学院结构力学学科组HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY结构力学1哈工大土木工程学院“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下，试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）ABXY设路径为y=y（x）所需时间ay称T为y（x）的泛函，y（x）为自变函数。即以函数作自变量以积分形式定义的函数为泛函。1.1泛函与变分2哈工大土木工程学院XAY变分运算在形式上与微分运算相同。y=y（x）x+dxdyx称为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。微分与变分运算次序可以交换。积分与变分运算次序也

2、可以交换。3哈工大土木工程学院外力虚功内力虚功虚功方程1.应变能弯曲应变能P拉压应变能PP剪切应变能y（x）平衡位置q(x)1.3势能原理1.2变形体虚位移原理4哈工大土木工程学院2.外力势能1.应变能弯曲应变能拉压应变能剪切应变能外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功.y(x)q(x)3.结构势能对于线弹性杆件体系5哈工大土木工程学院4.势能原理对于线弹性杆件体系,虚功方程为:或即在弹性结构的一切可能位移中，真实位移使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移6哈工大土木工程学院1.4基于势能原理的平面拉压杆单元

3、的单元分析一、建立位移模式---用杆端位移表示杆中位移EA,leq(x)21设杆中任一点位移a、b称为广义坐标令---自然坐标形(状)函数时的杆中位移.时的杆中位移.---形函数矩阵7哈工大土木工程学院形函数性质:1.若2.中包含刚体位移8哈工大土木工程学院杆中任一点应变---应变矩阵二、应变分析---用杆端位移表示杆中应变三、应力分析---用杆端位移表示杆中内力杆中任一点应力杆中任一截面的轴力9哈工大土木工程学院四、单元分析---用杆端位移表示杆端力单元应变能单元外力势能单元的总势能10哈工大土木工程学院单元是平衡的上式记

4、作其中--局部坐标系下的单元刚度矩阵--单元等效结点荷载（根据势能原理）11哈工大土木工程学院单元分析的步骤:1.以单元结点位移表示单元内位移的形函数矩阵2.由应变分析得到应变矩阵3.由势能驻值原理或变形体虚功原理建立单元刚度方程得到单刚与单元等效结点荷载如果需要坐标转换，则坐标转换方式与矩阵位移法相同12哈工大土木工程学院1.5基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析设单元内任一点位移为E,A,I,le2112一、确定形函数x1、广义坐标法任一截面转角为13哈工大土木工程学院14哈工大土木工程学院为发生杆端位

5、移时,杆中位移。如：为发生杆端位移时,杆中竖向位移。xx?15哈工大土木工程学院2、试凑法利用形函数的性质建立形函数矩阵(1)确定由可设由可知所以(2)确定由可设又又因可设16哈工大土木工程学院二、确定应变矩阵(建立几何方程)微分算子矩阵17哈工大土木工程学院弹性矩阵三、确定弹性矩阵(建立物理方程)物理方程四、确定单刚和单元等效结点荷载(建立平衡方程)18哈工大土木工程学院单刚单元等效结点荷载19哈工大土木工程学院(i,j=1,2)20哈工大土木工程学院21哈工大土木工程学院形函数矩阵是那两组量之间的联系矩阵?应变矩阵是那两

6、个量之间的联系矩阵?弹性矩阵是那两个量之间的联系矩阵?单刚是那两个量之间的联系矩阵?单元分析的步骤是怎样的?作业:1.推导自由式单元形函数2.推导连续梁单元的单刚.位移模式取22哈工大土木工程学院1.6其它平面杆件单元的单刚一、桁架单元二、不计轴变的弯曲单元23哈工大土木工程学院三、连续梁单元四、一端刚结一端铰结的单元24哈工大土木工程学院五、计剪切的自由式单元梁柱墙（单刚见教材41页）六、带刚域单元lal25哈工大土木工程学院26哈工大土木工程学院七、扭转杆单元1.7空间杆系结构的单元分析一.交叉梁结构xyzxyz27哈

7、工大土木工程学院二.空间桁架28哈工大土木工程学院三.空间刚架29哈工大土木工程学院休息一会……30哈工大土木工程学院