哈尔滨工业大学 04 结构力学——平面有限元

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1、土木工程学院结构力学学科组HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY结构力学1哈工大土木工程学院实际工程中的深梁、墙梁、水坝、隧道等结构虽然都是处于空间受力状态，但由于问题的特殊性，有些是可以近似地按平面问题来处理。平面问题有限单元法可用的单元很多，作为初学，先介绍两种最简单的单元：三角形和矩形。然后再介绍高级些的单元“等参数单元”。杆系问题以杆件的交接点作为分割单元的“结点”是很自然的，但对于平面问题，待分析物体是连续的，并不存在实际结点。要将物体“拆”成单元，必须用一些假想的线或面作人为地分割。2哈工大土木工程学院§5-1引言浅梁深梁平截面假设成

2、立杆类问题分析平面问题分析平截面假设未必成立结构力学与弹性力学的区别qllq3哈工大土木工程学院一、平面应力问题表面力作用在薄片边缘上且平行薄片，不沿厚度变化，体积力亦如此。三个应力分量只发生在xy面上，故称平面应力问题。弹性力学平面问题的两种类型4哈工大土木工程学院二、平面应变问题无限长柱体，荷载作用在柱体侧面上且垂直柱轴线。沿垂直纵线方向切出一薄片由于对称三个应变分量只发生在xy面上，故称平面应变问题。5哈工大土木工程学院§5-1引言5-1-1结构离散化一个复杂的弹性物体可以看成是由无限个质点组成的连续体，它具有无限多自由度。为了进行解算，可以将它简化为有限个单

3、元组成的集合体，这些单元只在有限个结点处铰接，这个集合体就只具有有限个自由度。由无限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体，就称为离散化。在数学意义上说，就是把微分方程的连续形式转化为代数方程组。6哈工大土木工程学院规定单元之间仅在结点处铰接；单元之间的力只通过结点传递；外荷载只加在结点上7哈工大土木工程学院离散单元的形式三角形三结点单元矩形四结点单元四边形单元三角形六结点单元曲边四边形八结点单元8哈工大土木工程学院划分单元时应注意的问题单元划分越细，结点布置越多，计算结果越精确，但计算量增加。所以在划分单元时应兼顾这两个方面。考察一受弯板梁结点数精确解223

4、4469哈工大土木工程学院在边界比较曲折，应力比较集中，应力变化较大区域，单元应划分的细一些，而在应力变化平缓区单元可划分的大一些。考察单元分布密度10哈工大土木工程学院细长比=最大尺寸/最小尺寸三角元三条边长应尽量接近，不应出现钝角；矩形单元的长宽比不宜过大，长宽比越接近，精度越高。精确解考察单元边长比的影响11哈工大土木工程学院任意一个三角形单元的角点必须同时也是相邻单元的角点，而不能是相邻单元的边上内点。其它单元划分亦循此原则。12哈工大土木工程学院如计算对象具有不同的厚度或不同的弹性系数，则厚度或弹性突变处应是单元的边线。应在分布荷载有突变处或

5、是受有集中荷载处布置结点，其附近单元也应划分的小一些13哈工大土木工程学院问题由于在形状复杂的弹性体内，各点位移变化情况也非常复杂，很难选择一个恰当的函数来表示整个弹性体内位移的变化。单元位移模式提示如果弹性体比较规整规模也比较小，那么可以采用比较简单的函数近似地表示区域真实位移思路将弹性体整个区域分割成许多小区域，以满足规整和小规模的要求，则在每个小区域局部范围内就可以采用比较简单的函数近似地表示区域真实位移。再将各区域的位移连接起来，便可近似地表示整个区域的真实位移。14哈工大土木工程学院定义这个划分的小区域称单元。在小单元范围内把某一点的位移近似地表达为结点坐标

6、的函数，这表达式称为位移模式。这种化繁为简，联合局部逼近整体的思想，正是有限元的绝妙之处。15哈工大土木工程学院5-1-2平面问题的总势能表达式16哈工大土木工程学院§5-2常应变三角形单元5-2-1单元结点位移和结点力单元间靠结点传递位移，故结点可视为铰结点。在各种单元形式中，以三角形单元最简单，且通过调整边长能对任意形状边界作精确描述。三角形单元17哈工大土木工程学院结点位移：单元结点位移：单元内点位移：18哈工大土木工程学院结点力：单元结点力：单元体积力：19哈工大土木工程学院三角形单元共有6个结点位移，所以有6个自由度。故选位移模式：讨论单元内任意一

7、点的位移模式待定系数广义坐标结点坐标矩阵20哈工大土木工程学院将单元结点坐标代入：21哈工大土木工程学院保证三角形面积为正22哈工大土木工程学院23哈工大土木工程学院24哈工大土木工程学院a,b,c分别是D的代数余子式25哈工大土木工程学院单元形函数单元位移形状函数矩阵26哈工大土木工程学院27哈工大土木工程学院由行列式性质：行列式任一行（列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值；而行列式任一行（列）的元素与其它行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于零。注意：a,b,c分别是2A的代数余子式28