哈尔滨工业大学 05 结构力学——平面有限元

《哈尔滨工业大学 05 结构力学——平面有限元》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、土木工程学院结构力学学科组HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY结构力学1哈工大土木工程学院§5-5平面等参数单元对于曲线边界问题，矩形或三角形单元不仅精度低，而且必然产生离散误差。如果通过缩小单元尺寸来改善计算结果，又将使未知量数目剧增。为了提高精度减少未知量，本节介绍一种工程有限元分析中广泛应用的等参数单元[简称等参元(isoparametricelement)]2哈工大土木工程学院等参元的基本思想是：首先建立规整形状单元[称为母单元(motherelement)]的形函数；然后用母

2、单元形函数和实际单元的结点坐标根据坐标映射确定所划分单元的几何形状，这个实际划分的单元称为“子单元”(mappingelement)；利用母单元形函数和单元结点位移建立子单元的位移场。进而利用势能原理进行一定的数学推导，建立等参元的单元刚度方程3哈工大土木工程学院5-5-1基本概念1、实际单元几何形状的描述－图形变换以任意四边形为例来说明概念1(x1,y1)2(x2,y2)3(x3,y3)4(x4,y4)子单元11111234母单元4哈工大土木工程学院母单元的形函数由结点座标映射出与（,）点对应的任意一

3、的（x,y）座标的对应关系5哈工大土木工程学院子单元内任意一点的座标矩阵结点座标矩阵子单元结点座标矩阵母－子座标间的变换形式矩阵母元形函数矩阵6哈工大土木工程学院由此得到结论1、由母元形函数性质可知，母元结点座标通过映射可得到子单元结点直角坐标；2、母元中的某条座标线通过映射可得到子单元中的一条斜直线；3、母元中正交座标轴映射的子单元的一个斜角座标系。斜角座标系是固定于子单元的局部座标系，而子单元的另一座标系是整体座标系。7哈工大土木工程学院4、母元形函数确定是关键，通过它可映射得到多个实际子单元；5、由于

4、母元的直线边界映射得到子元直线边界，因此两个子单元间能保证位移连续，不产生分离或重叠。8哈工大土木工程学院座标（，）既是的直角坐标，又是子单元的斜角座标，因此可用母元形函数建立子单元的位移场。2、建立单元位移场9哈工大土木工程学院1子单元位移场与母单元的位移场是一样的，但子单元的位移场是以斜角(或曲线)坐标表达的，而母单元的位移场是以正则坐标表达的。因此，子单元的位移分布与母单元的位移分布即使在结点位移相同的情况下也可能是不同的。3、几点说明2、座标场和位移场它们是相似的，因为使用相同的形函数构造的，并且

5、用相同个数的结点参数(结点位移和结点坐标)来描述，因此称这类单元为等参数单元。由此定义可见，等参元分析的关健在于建立各种结点数量时母单元的形函数。10哈工大土木工程学院3、若由结点坐标插值构造单元几何形状所用的形函数比由结点位移插值构造单元位移场的形函数阶次低，并且所用结点参数个数少，则称为亚参元；反之，若阶次高，结点个数多，则称为超参元。11哈工大土木工程学院4、两类座标系之间导数的变换关系12哈工大土木工程学院由13哈工大土木工程学院雅克比矩阵14哈工大土木工程学院5-5-2几种常用单元描述和位移模式

6、1、8结点四边形等参元123456781526378415哈工大土木工程学院母单元的形函数（1）直接试凑由本点为1的性质得其它形函数如法炮制16哈工大土木工程学院（1）统一方法1、由形函数的性质。用直接试凑法建立边界上新增结点的形函数由低阶母元形函数生成高阶母元形函数17哈工大土木工程学院2、计算低阶母元形函数在新增结点处的值。18哈工大土木工程学院3、对低阶母元角顶结点形函数进行“它点为零”的修正。19哈工大土木工程学院图形变换位移场20哈工大土木工程学院1、6结点三角形等参元1526341

7、52634L2=0L1=0L1－1/2=0L2－1/2=021哈工大土木工程学院母元形函数角结点边中点22哈工大土木工程学院图形变换位移场23哈工大土木工程学院5-5-3等参单元特性分析1、分析的基础单元应变场24哈工大土木工程学院25哈工大土木工程学院单元应力场26哈工大土木工程学院单元总势能27哈工大土木工程学院2、微分量的计算dA的计算28哈工大土木工程学院dL的计算在边界123456781526378429哈工大土木工程学院在结点上30哈工大土木工程学院31哈工大土木工

8、程学院3、单元刚度特性公式正方形母单元32哈工大土木工程学院33哈工大土木工程学院三角形母单元34哈工大土木工程学院152634积分线要有所改变35哈工大土木工程学院对于边界表面力的等效荷载的微分弧长应视不同边界而异36哈工大土木工程学院37哈工大土木工程学院5-5-4数值积分等参元的单元刚度矩阵和等效结点荷载的计算公式中被积函数是十分复杂的，很难用精确