04 结构力学——杆系有限元1

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1、土木工程学院结构力学学科组HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY结构力学1哈工大土木工程学院“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下，试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）ABxy设路径为y=y(x)所需时间ay称T为y(x)的泛函，y(x)为自变函数。即以函数作自变量以积分形式定义的函数为泛函。1.1泛函与变分2哈工大土木工程学院xAy变分运算在形式上与微分运算相同。y=y(x)x+dxdyx称为y(x)的变分，它是一个无穷小的任意函数。微分与变分运算次序可以交换。积分与变分运算次序也可以交换。3哈工大土木工程学院外

2、力虚功内力虚功虚功方程1.应变能弯曲应变能FP拉压应变能FPFP剪切应变能y(x)平衡位置q(x)1.3势能原理1.2变形体虚位移原理4哈工大土木工程学院2.外力势能1.应变能弯曲应变能拉压应变能剪切应变能外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功.y(x)q(x)3.结构势能对于线弹性杆件体系5哈工大土木工程学院4.势能原理对于线弹性杆件体系,虚功方程为:或即在弹性结构的一切可能位移中，真实位移使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移6哈工大土木工程学院1.4基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析一、建立位移模式---用杆端位移表示杆中位移EA

3、,leq(x)21设杆中任一点位移a、b称为广义坐标令---自然坐标形(状)函数时的杆中位移.时的杆中位移.---形函数矩阵7哈工大土木工程学院形函数性质:1.若2.中包含刚体位移8哈工大土木工程学院杆中任一点应变---应变矩阵二、应变分析---用杆端位移表示杆中应变三、应力分析---用杆端位移表示杆中内力杆中任一点应力杆中任一截面的轴力9哈工大土木工程学院四、单元分析(利用势能驻值原理)---用杆端位移表示杆端力单元应变能单元外力势能单元的总势能10哈工大土木工程学院单元是平衡的上式记作其中--局部坐标系下的单元刚度矩阵--单元等效结点荷载（根据势能原理

4、）11哈工大土木工程学院单元分析的步骤:1.以单元结点位移表示单元内任一点的，即建立位移场，用位移的形函数矩阵[N]表示；2.由位移场计算单元内的应变和应力，以应变矩阵[B]表示；3.利用功能原理（势能驻值原理或变形体虚功原理）建立单元刚度方程，得到单元刚度矩阵和单元结点荷载列阵；4.如果需要坐标转换，则坐标转换方式与矩阵位移法相同12哈工大土木工程学院1.5基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析设单元内任一点位移为E,A,I,le2112一、确定形函数x1、广义坐标法任一截面转角为13哈工大土木工程学院14哈工大土木工程学院15哈工大土木

5、工程学院为发生杆端位移时,杆中的线位移。如：为发生杆端位移时,杆中横向位移。xx16哈工大土木工程学院2、试凑法（利用形函数的性质建立形函数矩阵）求由可设又可设17哈工大土木工程学院3、积分法x18哈工大土木工程学院二、确定应变矩阵(建立几何方程)微分算子矩阵应变矩阵19哈工大土木工程学院二、确定应变矩阵(建立几何方程)20哈工大土木工程学院弹性矩阵三、确定弹性矩阵(建立物理方程)物理方程四、确定单元刚度矩阵和单元等效结点荷载(建立平衡方程)21哈工大土木工程学院单元刚度矩阵单元等效结点荷载22哈工大土木工程学院(i,j=1,2)23哈工大土木工程学院24

6、哈工大土木工程学院形函数矩阵[N]是那两组量之间的联系矩阵?应变矩阵[B]是那两个量之间的联系矩阵?弹性矩阵[D]是那两个量之间的联系矩阵?单元刚度矩阵[k]是那两个量之间的联系矩阵?单元分析的步骤是怎样的?25哈工大土木工程学院备注：形函数矩阵[N]是假设的，非真实位移，所以由位移所得的单元内力并不一定满足平衡，但全部外力会可构成平衡力系；形函数矩阵[N]是由结点位移引起的，没有考虑由单元内荷载作用引起的变形；单元分析的结果只能表达积分意义下的“弱平衡”；当位移场包含刚体位移时，能保证单元上外力的平衡。单元分析的实质：以单元全部外力平衡、各单元全部结

7、点平衡和单元刚体虚功为0为前提而离散结构得到的结点位移是实际平衡问题的近似值；只要所构造的位移场在单元之间满足协调条件，有限元分析的解答将收敛到精确解。26哈工大土木工程学院1.6其它平面杆件单元的单元刚度矩阵一、桁架单元二、不计轴变的弯曲单元27哈工大土木工程学院三、连续梁单元四、一端刚结一端铰结的单元28哈工大土木工程学院五、计剪切的自由式单元梁柱墙（单刚见教材41页）六、带刚域单元lal29哈工大土木工程学院30哈工大土木工程学院七、扭转杆单元1.7空间杆系结构的单元分析一.交叉梁结构（井字梁）xyz31哈工大土木工程学院二.空间桁架32哈工大土木工

8、程学院三.空间刚架33哈工大土木工程学院