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1、数据的数字特征§4数据的数字特征一、平均数、中位数、众数、极差、方差4.极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差.注意:极差表示这组数据之间的差异情况.5.方差样本数据x1,x2,…,xn的方差为注意:方差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.方差大,数据离散程度大;方差小,数据的离散程度小.取值范围是样本数据x1,x2,…,xn的方差的计算步骤:（1）计算样本平均数;（2）计算;（3）计算的平方;（4）计算n个的平方的平均数,即方差.例1.某公司员工的月工资
2、如下表所示(单位:千元):月工资/元854210.80.70.60.5员工/人12461282052（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数;（2）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导呢?解:（1）该公司员工的月工资平均数为月工资中位数为800元;因为700出现了20次,出现的次数最多,月工资众数为700元.例1.某公司员工的月工资如下表所示(单位:千元):月工资/元854210.80.70.60.5员工/人12461282052（1）分别计算该公司员工月工资
3、的平均数、中位数和众数;（2）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导呢?解:（2）公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用月工资平均数1373元作为月工资的代表;而税务官希望取月工资中位数800元,以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利;工会领导则主张用月工资众数700元作为代表,因为每月拿700元的员工数最多.思考:如果你要应聘该公司,你会如何看待公司员工的收入情况?例2.在上一节中,从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示.如图所示:
4、0123450280231223837448乙568甲0048825700138（1）甲、乙两组数据中的中位数、众数、极差分别是多少?（2）你能从左图中分别比较甲、乙两组数据平均数和方差的大小吗?解:（1）观察茎叶图,易得:甲城市销售额的中位数为20.众数为10,18,30.极差为53;乙城市销售额的中位数为29.众数为23,34.极差为38.（2）从茎叶图,易得:甲城市的销售额分布主要在茎叶图的上方且相对较散,而乙城市的销售额分布则相对集中在茎叶图的中部.因此,我们可以估计:甲城市销售额的平均数比乙城市的
5、小,而方差比乙城市的大.抽象概括平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势,极差、方差刻画了一组数据的离散程度.它们作为一组数据的代表各有优缺点,也各有各的用处,从不同的角度出发,不同的人选取不同的统计量来表达同一组数据的信息.例3.甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件,为了检验产品质量,从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量.结果如下表所示:甲直径/mm40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙直径/mm40.040.039.940.039.940.14
6、0.140.140.039.9经过简单计算可以得出:甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均数都是40mm,直径/mm产品编号39.601234567891039.739.840.040.140.240.340.439.9甲乙但从上表中的数据不难发现,甲生产的产品波动幅度比乙大,我们用折线统计图可以直观地表示出这两组数据的离散情况:例3.甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件,为了检验产品质量,从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量.结果如下表所示:甲直径/mm40.039.840.140.239
7、.940.040.239.840.239.8乙直径/mm40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗?方法1(极差)甲:40.2﹣39.8=0.4(mm),乙:40.1﹣39.9=0.2(mm).方法2(方差)例3.甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件,为了检验产品质量,从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量.结果如下表所示:甲直径/mm40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8
8、乙直径/mm40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗?方法3甲:乙:方法4甲:乙:抽象概括刻画数据离散程度的度量,其理想形式应满足以下三条原则:（1）应充分利用所得到的数据,以便提供更确切的信息;（2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度;（3）对于不同的数据,当离散程度大时,该数值亦大.方法1(极差)甲:40.2﹣39.8=0.4
