2014届新课标高中数学(文)第一轮总复习第8章第47讲 圆的方程[2014高考数学]

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1、第八章平面解析几何初步圆的方程第47讲圆的标准方程【例1】点评法一直接求出直线与已知圆的交点，以这两个交点作为直径的端点时圆的半径最小．法二是利用圆系方程处理过直线和圆的交点的圆的方程，然后利用函数的思想求最值．法三从垂径定理的角度出发，得到圆的圆心到已知直线距离最小时所求圆的半径最小，此时圆面积最小，所以当所求圆的圆心在直线2x＋y＋4＝0上时，圆的半径最小，面积最小．圆的一般方程【例1】已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程．点评与坐标轴相切时圆的方程求解及其参数的求解问题，方程形式选用要灵活．如果已知圆心、半径或圆心到

2、直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常采用圆的一般式方程．【变式练习2】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示的图形是一个圆．(1)当圆的面积最大时，求圆的方程；(2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内，求实数m的取值范围．与圆有关的轨迹问题点评求轨迹方程的步骤通常可以简化为(1)建系，设点；(2)列式；(3)化简．坐标系的选取决定着方程化简的繁简，设点时，通常求哪个点的轨迹方程，就假设那个点的坐标为(x，y)，同时，解题中还需区分轨迹方程与轨迹．与圆有关的最值问题点评涉及到圆上的点(x，y)的最大值和

3、最小值问题，可借助于图形，了解所求量的几何意义，用数形结合来解．有下列几类：①就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的连线的斜率；②y－x就是直线y＝x＋m在y轴上的截距；③y＋x是直线y＝－x＋m在y轴上的截距；④(x－a)2＋(y－b)2就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的距离的平方．【变式练习4】求圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4上的点到x－y＋2＝0的最近、最远距离．1.点P(2，－1)是圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为______________x－y－3＝013.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线l：2ax－b

4、y＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是______________1．在讨论含有字母参变量的圆方程问题时，始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件，也可以理解为“定义域优先”的拓展．2．圆的标准方程和一般方程都含有三个参数，因此，要具备三个独立已知条件才能确定一个圆．求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可直接用标准形式写出圆的标准方程；若已知条件与圆心、半径关系不大，则用一般式方便．如果通过点才方便解题或问题是求与圆上的点有关的最值问题，可考虑用圆的参数方程．3．求圆的方程的方法：(1)几何法，即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和

5、圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程(当然有时也可以选择参数方程)；②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F的对应的值，代入圆的标准方程或一般方程．4．在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化．圆的常用几何性质为：(1)直径所对的圆周角为直角，这样有勾股定理，斜率的乘积为－1可用；(2)弦的中点和圆心的连线垂直平分弦，这样有勾股定理、斜率的乘积为－1和弦的垂直平分线过圆心，以

6、及圆心到弦所在直线的距离公式可用；(3)圆心和切点的连线垂直于切线，这样有圆心到切线的距离等于半径、斜率的乘积等于－1可用．