数值分析复习题(1)

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1、第一章引论1、当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶段?在哪些阶段将有哪些误差产生?（12分）答：一般会有以下几阶段：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果；建模过程中肯能会产生的误差：模型误差，观测误差；选用数值方法可能会产生的误差：截断误差；计算过程中可能会产生的误差：舍入误差和传播误差。第二章多项式插值1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）-101/21-3-1/201（2）-101/21-3/2001/2解(1)：方法一.由La

2、grange插值公式,，,.可得：5、已知在的函数值如下表012340182764利用插值公式计算的值。（12分）解：函数的差分表如下00111676281201960271837164，由Newton向前插值公式，可分别求得第四章、数值积分算法梯形公式：中矩形公式：辛普生公式：梯形公式和中矩形公式都具有一次代数精度，而辛普生公式具有三次代数精度。4．试给出上复化辛普森求积公式,并描述其自适应算法.复化辛普生公式自适应求积算法的具体步骤：步1：；步2：，；步3：判断，若是，转步5；步4：转步2；步5：输出

3、s2；4、利用辛甫生求积公式计算积分：，并估计其误差。（10分）(注意与复化辛普生公式的区别)解：由辛甫生求积公式，误差：1、已知函数在上的各离散点:处的函数值,.试构造在上的分段2次插值多项式. 2.已知函数在上的各离散点:处的函数值,.1)构造在上的分段线性插值多项式.2)假定在上有连续的2阶导数,试估计以上分段插值的误差.2.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.解，，，设，则：误差估计：.第五章线性代数方程组的解法(高斯消去法、迭代法)1、用Gauss逐步消去法解方程组解：

4、消元：第1步：第2步：回代：2、利用顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程).（10分）解：消元过程：回代过程：由（1）得：代入（2）均回代到（1），，3、用顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程).（10分）解：消元过程：回代过程：由（1）得：代入（2）均回代到（1），，4、用列主元消去法解方程组.解：第1步：第2步：第3步：第4步：回代：五、（12分）用列主元消去法解方程组6、已知方程组分别写出求解方程组的迭代格式和迭代格式，并判别两种迭代格式的收敛性.（12分）解:求解方程组

5、的迭代格式：求解方程组的迭代格式：收敛性：由于是严格对角占优矩阵因而，求解方程组的迭代格式收敛。因,Gauss-Seidel迭代方法发散。7．(P203)试分别给出求解线性代数方程组的Jacobi迭代、Gauss—Seidle迭代解：将分裂为其中，,lJacobi迭代方法若，迭代格式①其中Jacobi迭代矩阵：；(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的值小于1就是收敛，反之发散)①式可写为分量形式.（*1）方法（*1）或①称为Jacobi迭代方法.Gauss—Seidle迭代方法若，迭代格式②其中，Gauss-

6、Seidel迭代矩阵：(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的值小于1就是收敛，反之发散)其分量形式,.（*2）即，在计算新分量时，利用新值，。迭代法（*2）或②称为Gauss—Seidel迭代方法。8、已知方程组（1）分别写出求解方程组的Jacobi迭代式和Gauss-Seidel迭代格式，并判别两种迭代式的收敛性。（2）利用Gauss顺序消元法解方程组。（要求写出消元过程和回代过程）9、给定方程组证明Jacobi迭代方法收敛而G-S迭代方法发散.解：方程组：Jacobi方法：迭代矩阵：特征方程：或：，，Ja

7、cobi方法收敛Gauss-Seidel迭代方法：迭代矩阵：,,（特征方程）或的特征化为下面方程的根：即：,，，（重根）故G-S迭代方法发散。第七章非线性方程数值分析(牛顿迭代方法)七、（12分）试写出求解方程组的牛顿迭代格式，并给出计算终止的条件？第八章欧拉方法2、试列出解初值问题的改进Euler格式.解求解此初值问题的改进Euler格式为：、已知；这里、无限逼近，。写成矩阵形式为3、已知初值问题取步长,用欧拉公式求出初值问题的解函数y的数值解.（10分）(保留4位小数)解:建立具体的Euler公式,将

8、代入可得八、（12分）用Euler方法求解常微分方程初值问题