数值分析复习题1

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1、"5仍然（K）分）己知矩阵",-24（10分）设A.B为n阶非奇异矩阵,Ml表示矩阵的任一种从属范数，试证⑴4(2)A（10分）求证IIIA-Bi（10分）试证Newton迭代法至少具有一阶收敛四、（10分）证明方程/（x）=x3-6x-12=0在区间［2,5］内有啡一实根p,并对任意的初始值x0e［2,5］,Newton序列都收敛于根p.五（10分）试证不动点定理：设f（x）eCa,b］t且a

2、。六（10分）设x=（1,3,—5,4）厂wF,分别求出

3、

4、礼，p=l,2,oo的值七（10分）设力、B为n阶非奇异矩阵，M表示矩阵的任一种从属范数，试证⑴叶光4

5、（2）

6、

7、a_,一矿】卜

8、”卜

9、矿

10、卜慣一创八（10分）.应川复合梯形公式计算积分I=f6e~xdx时要求误差不超过10",试确定所需的步长h和基点个数。九（1（）分）用Newton迭代法计算（迭代三次）卞（10分）试证不动点定理：设f（x）eC［a,b］fW.a

11、什么条件不动点唯一（不要求证明）。10a二、（15分）设A=01aaCl1aa0aa,a=--，计算Jacobi迭代矩阵的谱半径。0410.60.5三（10分）设人=,计算A的1■范数，2范数，oo•范数以及F■范数。0.10.3」四（10分）设A是对称矩阵，冃。口工0,经过高斯消去法一步后，A约化为^11证明人2是对称矩阵。Lu五（10分）求证H^ll^

12、

13、勒为/T上的一种向量范数，定义

14、

15、x

16、

17、/?=

18、

19、Px

20、

21、,证明兀是R"上的一•种

22、范数。P15兀1一兀2=14七（15分）写出线性方程纽《-西+12兀2-2兀3=10的Gauss-Seidel迭代格式，并写出7兀2+10兀3=6其迭代矩阵，并判断它的收敛性。八.（15分）证明方程/（x）=x3-6x-12=0在区间【2,5】内有唯一根p,并对任意初始值心€[2,5],Newton序列都收敛于p兀［+10兀2=0兀

23、兀1+兀

24、—IOxj+8—0（10分）写出下面非线性方程组的Newton迭代格式卡（15分）用差分方程解边值问题/=（l+%2）y-1

25、：只需要表示出节点的线性方程组265-（10分）设4=，计算A的1■范数，2范数，oo■范数以及F・范数。13T证明:二（10分）设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为⑷0人09(1)A的对角元素＞0,(z=1,2,…/)（2）A?是对称正定矩阵。三(15分)试证明对任何初值x(),由迭代法忑+］=cosxk,k=0,1,••-,所产生的序列｛忑｝都收敛于方程x=cosx的根四(15分)设函数/(x)于区间［a,b］上至少三次连续可微，为/(x)的一个m重零点，求一个2值使改进的Newton法林°二

26、心一2空丄，R=0,l,・••至少是二阶收敛。八林)［3无2_J=o.71(10分)写出下而非线性方程组的Newton迭代格式彳；,2_［3坷心一彳一1=()六(15分)川差分方程解边值问题'y"=(l+/)y-1

27、),试确定p(K)和g(X),使求解方程/(x)=0的迭代法耳+i=g(耳)伙=0丄2…)至少三级收敛2、证明；对任何初值斥，由迭代法％=8%上=0」2…所产生的序列区｝都收敛于方程x=cosx3、设函数于区间伍b｝h至少有三次连续可微，pwg)为于®的一个進零点，求一个2值使改进的、0讼注ST/(x.)"0XX…至少二阶收敛.4、设工之％宀•…耳rw人••巧>o.o=u.・f)证明m郭局杲F中的一种范数・5、证明：对任意的恒有IHh卜胡16、已知函数J=Ax)的观翩据为/0)=l,A4)=X/(2)=l.^求

28、以1,4,2为基点的Lagrange^值多顶式。■7、设kA.…耳为I个相异的插值基点13(20丄…时为Lagrange基本多项式。证明，石只©"・8、利用有限差证明：卄2'*…宀［^2尸10、求AAA,使得计算和分w=£/«-&的求积公式妇S=AA®5斤》5尼）的代数精度至少为2°3、试证对任给的初值％求开方值4a,a>0的Newton迭代法恒成立下列关系式6、描述向量范数的定义。7