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1、一、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数，绝对误差为，相对误差为。2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y其有效数字的位数为。3.对f(x)=x3+x+1,差商f[0,1,2,3]=;f[0,1,2,3,4]=。4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是。5.设方程x=j(x)有根x*,且设j(x)在含x*的区间(a,b)内可导，设x0Î(a,b)则迭代格式xk+1=j(xk)收敛的充要条件为。6.求解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Jx(k)+f收敛的充要条件为。7.,
2、
3、A
4、
5、µ=,c
6、ond(A)µ=。8.n次Legendre多项式的最高次项系数为。9.中矩形公式：的代数精度为。10.求积公式：的代数精度为。11.在区间[1，2]上满足插值条件的一次多项式P(x)=。12.设是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则=。13．梯形公式和改进的Euler公式都是阶精度的。二、计算题1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组2.设有函数值表x134679y976431试求各阶差商，并写出Newton插值多项式。3.求解超定方程组的最小二乘解。4.给定下列函数值表：i0123xi3468yi602-1求3次自然样条插值函数5.给定在x=100
7、,121,144三点处的值，试以这三点建立f(x)的二次（抛物）插值公式，利用插值公式求的近似值并估计误差。6.试分别写出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组的第k次迭代公式，并讨论它们的收敛性。7.利用积分计算ln4时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点才能使其误差绝对值不超过。8.建立计算的Gauss求积公式，使其具有3次代数精度。9.应用Newton法导出方程f(x)=x2-a=0的根的迭代格式，并求。10.设f(x)=ex,xÎ[0,1]。求f(x)的二次最佳平方逼近多项式11.求拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)
8、的直线方程。12．用Euler预测-校正格式求解初值问题在0.3，0.4处的数值解。要求写出格式，步长h=0.3，小数点后至少保留5位数字。13．利用Euler公式计算积分在点x=0.5,1,1.5,2的近似值。14．试分别写出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组的第k次迭代公式，并讨论它们的收敛性。15．用简单迭代法求解的所有实根，精确至3位有效数。16．试用Gauss消元法解下列方程组，计算过程按5位小数进行：（写出详细过程！）例17求积公式≈++已知其余项的表达式为=，.试确定系数，，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出该求
9、积公式的余项和代数精度的次数.解：当=1时，=1+=1当=时，=+=当=时，==代入求得：=，=，=，从而≈++，且求积公式的代数精度至少为2，能否更高有待验证.为此取当=时，==，而++=说明当=时不能使求积公式准确成立，因而该公式只有2次代数精度.下面考虑余项，设=+++将=代入，得到=+3！=，即余项为=，.例18设给定数据x11.502f(x)1.502.501.005.50(1)作出函数f(x)的均差表；(2)写出牛顿3次插值多项式.解：（1）011.521.00=0.50=1.00=1.501.50=2.00=4.002.50=6.005.50（2
10、）=1+++=1+++三、证明题1.证明1-2x-sinx=0在[0,1]内有唯一根。使用二分法求误差不大于的根要迭代多少次？2.证明：证明方程在(0，1)内有唯一根x*。并证明迭代格式：是收敛的。3.给定方程组试证明Jacobi迭代法收敛的充要条件为4.设f(x)ÎC2[a,b],且f(a)=f(b)=0,求证：。5.设AÎRn´n,证明当r(A)<1时，矩阵序列Sk=I+A+…+Ak(k=0,1,2,…)收敛，并求其极限。6.设，f(x)为一个不超过n次的多项式，证明：(1);(2)。7.设f(x)ÎC2[a,b],写出梯形求积公式，并证明其截断误差为8.
11、设函数f(x)ÎC[a,b],在Gauss公式中，证明Gauss系数其中为Lagrange插值基函数。9．Euler公式的截断误差为
