硕士数值分析复习题1

《硕士数值分析复习题1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数值分析复习题第二章线性方程组的数值解法1、用分解法解方程组2、用Jacobi，Gauss-Seidel迭代法解下列方程组是否收敛？为什么？若将方程组变为，再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？3、设非奇异，，，，给定迭代格式（1）证明：若按上述迭代格式生成的序列是收敛的，则必收敛于方程组之解；（2）已知，问如何取值可使上述迭代格式生成的序列收敛，又取何值时收敛最快。4、设有方程组，其中，已知它有解，如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差。5、设有矩阵，对角阵，若和都对称正定，证明：求解方程组的Jac

2、obi迭代法对任意初始向量都收敛。6、设是一个对称正定矩阵.分别是它的最大（小）的特征值，建立迭代法8求出的范围使迭代法收敛.并求出最好的使得迭代法有最大的渐近收敛速度.7、设是一个对称正定矩阵，且对角线元素为1.建立求解的对称高斯—塞德尔迭代法如下：证明该迭代法收敛.8、令，求出最大可能的取值范围使得是对称正定的.当在这个范围内时，用雅可比迭代法解是否收敛？求出最大可能的取值范围使得雅可比迭代法解收敛.9、若时对称正定矩阵，其最小、最大特征值分别是，.为了求解，我们设计如下迭代方法：（*）1）给出上面的迭代法

3、的相容性条件.2）求出，使得（*）的渐近收敛速度尽可能大.10、设，为单位矩阵，若，则非奇异，且，其中指矩阵的算子范数。11、设的系数矩阵对称正定，证明：此方程组有唯一解，且Gauss-Seidel迭代法收敛。12、设方程组。（1）Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法是否收敛？理由是什么？（2）若均收敛，哪个方法收敛速度快？8函数的插值13、建立三次多项式，使它在、处与相切，并写出余项的估计式。14、求在上的等距分段线性插值函数，并估计误差；要使得在上用对进行插值计算时误差都不超过，则至少需要将分

4、成多少段？15、设在上二阶连续可导，。用函数插值法证明16、利用差分及插值多项式为工具证明17、设在区间上连续，证明：分段线性插值多项式在上一致收敛于。18、构造次数不超过4的多项式，使其满足下列插值条件函数的数值逼近19、已知，，求的二次最佳平方逼近多项式（权为1），并求误差。20、已知函数值表为1246723753试通过构造正交多项式，求曲线拟合的二次最小二乘解，并计算平方误差。21、确定参数，使带权的积分8取得最小值，并计算该最小值22、已知一组实验数据如下：12341.953.053.553.85求形如

5、的最小二乘解.数值积分23、运用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式分别计算积分，并估计各种计算方法的误差（计算中保留五位有效位数字）。24、已知，，（1）求在上以这三个节点为求积节点的插值型求积公式；（2）指明求积公式的代数精度；（3）用所求公式计算25、计算定积分（1）如果要求误差小于0.002，用复化梯形公式计算时，需将区间分成多少等份？（2）要求误差小于0.002，用复化Simpson公式时应分成多少等份？（3）要求误差小于0.002，用复化Cotes公式时应分成多少等份？26、将计算积分的梯形

6、公式与中矩形公式做线性组合，使组合后的积分公式具有尽可能高的代数精度，并指出所求积分公式的代数精度。27、把区间等分成4等份，每个小区间的长度记为和，.建立形如的数值积分公式，使其有尽可能高的代数精确度，并求出代数精度28、设，确定求积公式8中的待定参数，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式。非线性方程的数值解法29、说明方程在区间[1，2]内有惟一根，并选用适当的迭代法求（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。30、利用牛顿迭代法，给出求实数的五次方根的迭代公式，并由此计算的近似值，

7、精度为。31、设有解方程的迭代法，（1）证明均有（为方程的根）；（2）取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。32、已知在区间上有根，在上连续，且，试构造局部收敛于的迭代公式。33、设具有各阶导数，是的重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列有下列极限关系34、试确定常数、、，使迭代公式产生的序列收敛到，并使其收敛的阶尽可能高。35、设函数具有二阶连续导数，，，，是由牛顿迭代法产生的序列，证明36、设函数具有连续的阶导数，是的重根（），是由牛顿迭代法产生的

8、序列，证明（1）；8（2）；（3）。37、对于迭代函数，试讨论：（1）当为何值时，产生的序列收敛于；（2）为何值时收敛最快？（3）分别取，，计算的不动点，要求。常微分方程数值解法38、求解常微方程初值问题的单步法（1）写出其局部截断误差表达式（2）要使方法是二阶方法，应取何值？（3）试给出该方法应用于试验方程的稳定条件。39、用梯形法解初值问题，证明其近似解，并证明当步长时，收敛到原初