2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理公理4定理课时分层作业含解析北师大版必修2.doc

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1、课时分层作业五空间图形的公理(公理4、定理)一、选择题(每小题5分，共30分)1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)A.相交B.异面C.平行D.垂直【解析】选A.直线A1B与直线外点E确定的平面为A1BCD1，EF⫋平面A1BCD1，且直线A1B与EF不平行，故两直线相交.2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)A.3条B.4条C.5条D.6条【解析】选B.由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的

2、棱还有3条：AD，BC，A1D1，所以共有4条.3.平面α∩β=l，直线mα，直线nβ，则m，n的位置关系是(　　)A.异面B.平行C.相交D.无法确定【解析】选D.如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，平面AC∩平面BC1=BC，直线AC平面AC，直线B1C平面BC1，而直线AC与直线B1C相交于点C，排除A，B，又直线B1C1平面BC1，直线AC平面AC，而直线B1C1与直线AC异面，排除C.4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选D.连接AC1

3、，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等.故这样的直线l可以作4条.5.(2017·安庆模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c【解析】选C.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异

4、面直线所成的角的定义知C正确.6.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是(　　)【解析】选D.在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，所以P，Q，R，S共面；在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面.D图中PS与QR为异面直线，所以四点不共面，故选D.二、填空题(每小题5分，共10分)7.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_________　对. 【解析】正方体如图，若

5、要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有=24对(每一对都被计算了两次，所以结果要除以2).答案：248.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点.以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为_________.(注：把你认为正确的结论序号都填上) 【解析】结合图形可得直线AM与直线C1C、B

6、N是异面直线，故①、②错误；由异面直线的定义可得③、④正确.答案：③④三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点.求证：四边形EBFD1是菱形.【证明】如图所示，取B1B的中点G，连接GC1，EG，因为GB∥C1F，且GB=C1F，所以四边形C1FBG是平行四边形，所以FB∥C1G，且FB=C1G，因为D1C1∥EG，且D1C1=EG，所以四边形D1C1GE为平行四边形.所以GC1∥D1E，且GC1=D1E，所以FB∥D1E，且FB=D1E，所以四边形EBFD1为平行四边形.又因为FB=FD1，所以四边

7、形EBFD1为菱形.10.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积.(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S=4，所以四棱锥O-ABCD的体积V=×4×2=.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又因为M为OA中点，所以ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE=，EM=，M