空间图形的公理(公理4、定理

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1、4.2空间图形的公理（公理4、定理）空间图形多种多样，但它们的基本关系很容易观察到，一个小小的长方体，就包含了所有的基本关系.上节课我们学习了哪几个公理，它们怎么表示，又有什么作用呢？公理1：文字语言图形语言符号语言过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）.α·A·B·C作用：一确定平面;二用来证明点、线共面mB··A·..作用：用来判断直线是否在平面内公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.文字语言图形语言符号语言公理3：文字语言图形语言符号语言如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过

2、该点的公共直线.αβ·P作用:一是判定两个平面是否相交;二是判断点在直线上.1.掌握公理4及“等角定理”.(重点)2.能正确应用公理4判断空间两直线平行.(重点)3.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.(难点）思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b仍保持平行吗（前提是二者不重合）？提示：平行.ab思考2:如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗?CB'C'A'D'BAD提示：平行.思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板

3、沿EF折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何?AFEDCBABCDEF提示：平行.若a∥b，b∥c,提示：公理4平行于同一条直线的两条直线平行.则a∥c.通过上述实验可以得到什么结论？【即时训练】对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，能判断三条直线共面的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个【点评】选B易知：②④能判断线共面，①③不能继续观察下列图形，直线与直线的位置关系有哪些？②①③（2）如图②中直线a和b在同一个平面内，但没有

4、公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作：a∥b；空间两条直线的位置关系有三种:（1）如图①中直线a和b只有一个公共点A，这样的两条直线叫作相交直线，记作：a∩b=A；(3)如图③中直线AD与直线BB1；直线AD与直线BD1，它们不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作异面直线.为了表示异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图:abab【提升总结】对于异面直线的几点认识(1)若直线a,b是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b两条直线.(2)不能误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.(3)画异面直线时,为了充分

5、显示出它们既不平行又不相交的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性.例1在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.BCEDGFAH证明:如图，连接BD.因为FG是△CBD的中位线，所以又因为EH是△ABD的中位线，所以所以四边形EFGH是平行四边形.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与C1D1，AD1与BC1，AA1与CC1，AC与A1C1是什么位置关系？C1ABCDA1B1D1解:AB∥C1D1，AD1∥BC1，AA1∥CC1，AC∥A1C1.【变式练习】思考4

6、:如图示，在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？提示：相等或互补.思考5:如图示,四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'提示：相等.提示：互补.综上分析我们可以得到什么定理?提示：空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【即时训练】(2014·九江高一检测）空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β为()A．60

7、°B．120°C．30°D．60°或120°【解析】选D.∵α与β两边对应平行，但方向不一定．∴α与β相等或互补．如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线a′和b′，aba′b′O则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角.若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直记作:a⊥b.异面直线所成角θ的取值范围：.例2如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中的位置关系是（）.AB(D)CCABDA.平行B.相交且垂直C.异面直线D.相交成60°D解：选D.将上面

8、的展开图还原成正方体，点B与点D重合.容易知道AB=BC=CA，从而△ABC是等边三角形.所以选D.在正方体