一类带有阶段结构传染病模型定性分析

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1、第37卷第17期数学的实践与认识Vol137No1172007年9月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYSep.,2007一类带有阶段结构的传染病模型的定性分析112杨建雅,张凤琴,杨友社(1.运城学院应用数学系,山西运城044000)(2.空军工程大学应用数学物理系,西安710051)摘要:通过假设被感染者恢复后不具有免疫力,但易感性不同于未被感染过的易感者,建立了一类带有双线性传染率的传染病模型,发现该模型对一定参数会发生后向分支,找到了相应的阈值,完整分析了该模型的动力学性态.关键词:传染病模型;

2、后向分支;稳定性借助数学模型研究各种传染病的传播过程和动力学行为最关键的是对传染病传播过程[1]描述.常见的传染率形式有双线性型和标准型.近年来,随着研究的不断深入,对模型的描[2-8]述也不断细化,发现了一些较简单的传染病也具有较复杂的动力学性态,如后向分支、Hopf分支、Bogdanov2Takens分支等.文献[9—10]假定恢复者按一定比例又转化为染病者进行传染,建立并分析了相应的SIRI型传染病模型.本文将在其基础上建立一类新的SIRI模型,所得模型具有后向分支等特性.1模型将所考虑种群中的个体分为三类:易感类(S)

3、、染病类(I)和恢复类(J).假设一个易感者被染病者传染后,成为染病者并具有传染性而进入染病类I,染病者恢复后进入恢复类,假设恢复者不具有免疫力,即又成为易感者,因此恢复类是一类新的易感者.这里认为处在易感类和恢复类中的个体对疾病的易感性是不同的.同时分别用S(t),I(t)和J(t)表示t时刻易感者,染病者和恢复者的数量,于是,相应地有SIJ传染病模型S′=LA-LS-BSI,I′=BSI-(L+C)I+EJI,(1)J′=CI-LJ-EJI.[11]BA借助文献中的再生矩阵,可求得模型(1)的基本再生数为R0=.记N(t)

4、=L+CS(t)+I(t)+J(t),则由(1)有N′=L(A-N),因此limN(t)=A,即平面S+I+J=t→∞A为(1)的X极限集.因此可在该极限集上考虑模型(1)的动力学性态.将J=A-S-I代入到模型(1)中的第二个方程可得:收稿日期:2006209217基金项目:山西省自然科学基金项目(2005Z010);山西省重点扶持学科项目;运城学院项目(2005207);空军工程大学理学院科研基金项目84数学的实践与认识37卷S′=LA-LS-BSICP(S,I),(2)I′=I[(B2E)S-(L+C)+EA-EI]CQ

5、(S,I).显然,区域D={(S,I):S>0,IE0,S+IFA}是系统(2)的正不变集.以下将主要在区域D上讨论系统(2).2平衡点的存在性vql易知系统(2)总有无病平衡点E0(A,0),其它的地方病平衡点E(S,I)满足方程组:LA-LS-BSI=0,(3)(B-E)S-(L+C)+EA-EI=0.由方程组(3)直接计算可得:2H(I)CBEI+b(E)I+c=0,其中b(E)=B(L+C)-E(BA-L),c=L[(L+C)-BA]=L(L+C)(1-R0).由于H(A)=BCA+L(L+C+EA)>0,并且H′(A

6、)=B(L+C+EA)+EL>0,所以对于IEA有H(I)>0.这意味着在区间[A,∞)上方程H(I)=0无解.下面仅讨论H(I)=0在区间(0,A)上根的存在情形.为了讨论方便,记22222$(E)=b(E)-4BEc=(BA-L)E-2BE[BA(C-L)+L(L+C)]+B(L+C).R0>1时,H(0)=c=L(L+C)(1-R0)<0,因此方程H(I)=0有唯一的正根-b(E)3-b(E)+$(E)

7、LC2BA3b(E)=0无正根存在;如果E>,则b(E)<0,于是方程H(I)=0有唯一的正根I1=-CBE2EC-BA=.BE当R0<1时,分三种情形来考虑:L1)如果R0F,即BAFL,则b(E)>0和c>0,因此方程H(I)=0无正根存在;L+CLB(L+C)2)如果0,方程H(I)=L+CBA-L0也无正根存在;LB(L+C)B(L+C)3)如果,即b(E)<0,由于$=L+CBA-LBA-L24BL(L+C)[BA-(L+C)]<0和$(+∞)=+∞,所以

8、方程$(E)=0在区间BA-LB(L+C),+∞上存在根BA-LBE0=2{BA(C-L)+L(L+C)+2BALC[(L+C)-BA]}(BA-L)L使得当E>E0时$(E)>0.因此,当