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《)一类带有接种的传染病模型的全局性分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、西北大学学报(自然科学版)2009年10月,第39卷第5期,Oct.,2009,Vol.39,No.5JournalofNorthwestUniversity(NaturalScienceEdition)·数理科学与信息科学·一类带有接种的传染病模型的全局性分析1,222杨亚莉,李建全,张吉广(1.西安交通大学理学院,陕西西安710049;2.空军工程大学应用数学物理系,陕西西安710051)摘要:目的讨论一类带有接种和因病死亡的SIS2V传染病模型的全局稳定性。方法应用极限系统理论和构造Liapunov函数。结果得到了各类平衡点存在的阈值条件;无病
2、平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定的充分必要条件。结论基本再生数是决定疾病是否持续存在与灭绝的阈值。关键词:传染病模型;接种;平衡点;稳定性中图分类号:O175.1文献标识码:A文章编号:10002274Ⅹ(2009)0520729204传染病广泛存在,通过对传染病的传播过程建t时刻的数量。假设疾病的发生率为双线性发生率,立数学模型并进行分析,已是应用数学的一个主要则可得到以下SIS2V传染病模型[1-3]研究方向。随着研究不断深入,人们将传染病S′=A-βIS-(d+p)S+γI+εV,的传播过程逐渐细化,非线性传染率、病龄结构、年I′=βSI-(d
3、+γ+α)I,(1)龄结构以及防控措施等都被引入模型之中,使得所V′=pS-(d+ε)V。建模型更加完善和贴近实际情形。接种疫苗是预防式中:A表示对种群的常数输入率系数;d>0表示[4-9]种群的自然死亡率系数和控制疾病传播的主要措施。文献[10]对一;p表示易感者的接种率系个带有接种的SIS传染病模型进行了分析,得到了数或比例(1≥p≥0);β>0表示疾病的传播率系地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件。本文考虑数,α≥0表示染病者的因病死亡率系数;ε>0表示了染病者的因病死亡和接种者的免疫丧失,建立了被接种者的免疫力失去率系数。一类采取预防接种措施且
4、带有双线性发生率的SIS传染病模型。通过分析,得到了地方病平衡点存在2平衡点的存在性的阈值,并应用极限系统理论和构造Liapunov函数,不仅得到了无病平衡点全局渐近稳定的充分必将系统(1)中的3个方程相加可得要条件,而且得到了地方病平衡点全局渐近稳定的(S+I+V)′=A-d(S+I+V)-αI≤充分必要条件。A-d(S+I+V)。A由此有limsup(S(t)+I(t)+V(t))≤,所以区域t→∞d1模型AΩ={(S,I,V)
5、S+I+V≤,d假设所有输入者都是易感者。以S=S(t)表示S>0,I≥0,V≥0},没有患病,但无免疫能力,可以被传
6、染而患病的易感即为系统(1)的正不变集。因此以下仅在集合Ω上者在t时刻的数量;I=I(t)表示已患病,且可以把讨论系统(1)的动力学行为。疾病传染给S类的传染者在t时刻的数量;V=V(t)Aβ(d+ε)易知R0=为系统表示直接通过接种而产生暂时免疫能力的接种者在d(d+ε+p)(d+α+γ)收稿日期:2008212210基金项目:国家自然科学基金资助项目(10671209);陕西省教育厅专项基金资助项目(08JK464)作者简介:杨亚莉,女,陕西泾阳人,从事生物数学及微分方程定性理论研究。—730—西北大学学报(自然科学版)第39卷′(1)的基本再生
7、数。S=A-(d+p)S+εV,′通过直接计算可得V=pS-(d+ε)V。定理1系统(1)当R0≤1时仅有惟一的无病该系统R0≤1时有惟一的平衡点(S0,V0)。系统又平衡点(A(d+ε)Ap);系统等价于P0,0,d(d+p+ε)d(d+p+ε)′S=-(d+p)(S-S0)+ε(V-V0),(1)当R0>1时不仅有无病平衡点P0,还有惟一的′3333V=p(S-S0)-(d+ε)(V-V0)。地方病平衡点P(S,I,V)。其中定义Liapunov函数为3d+γ+α3p(d+γ+α)S=,V=,m(S-S)2n(V-V)2ββ(d+ε)(S,V)=
8、00W1+。223A1I=(1-)。d+αR0其中m,n均为正数,所以W1(S,V)为一个关于S0,V0的正定函数。3平衡点的稳定性分析对W1沿系统(1)求全导数得W′1
9、(1)=m(S-S0)S′+n(V-V0)V′=定理2系统(1)当R0≤1时,无病平衡点P0-m(d+p)(S-S)2+0是全局渐近稳定的。(mε+np)(S-S0)(V-V0)-3d+α+γ)2证明S=,又因为R0=n(d+ε)(V-V0。(2)β对于式(2)可将其看成是关于(S-S0)的一元βS03≤1,所以S0≤S。二次函数,现在只要证明存在正数m,n使得式(2)d+α+γ恒
10、小于零即可,而这个式子的图像是开口向下,所以考察当R0≤1时Ω1={(S,I,V)
11、(S,I,V)∈3仅需证
