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《一类带有接种的流行病模型的全局稳定性_李建全》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、,200626A(1):021一030.械磅黔汕数学物理学报一类带有接种的流行病模型的全*局稳定性1,“李建全1马知恩(l西安交通大学应用数学系西安710049;2空军工程大学数理系西安710051)摘要:该文讨论了一类带有接种的流行病模型.在该模型中假设恢复后的个体与被接种的个体,.,均具有确定的免疫期它是一个时滞微分系统通过分析得到了地方病平衡点存在的阂值,以及无病平衡点和地方病平衡点局部渐近稳定和全局渐近稳定的充分条件.关锐词:流行病模型;接种;平衡点;稳定性.M2000)主题分类:34K20:92D30中图分类号
2、:0175.1文献标识码:AR(:一一一文章编号10033998(2006)01021101引言在现实生活中,存在着各种各样的传染病.它们的传播在数学上经常用仓室模型来描.,,一般来说总种群被分为三类(仓室):述易感类(S)在此仓室中的个体对传染病均是易感,,,;;的染病类(I)在此仓室中所有个体均是染病者且具有传染性免疫类(恢复类)(卿在此仓室中的个体都是染病后经治疗恢复的,对疾病的传染具有一定的免疫力.相应于恢复者具有永久免疫或暂时免疫,可分别建立SIR传染病模型和SIRS传染病模型.这两类模型已在许多文献{卜71中
3、被讨论.为了预防和控制传染病的传播,接种是常用的措施之一因此,在传染病模型中,考虑疫苗接种的因素是必要的.在带有接种的传染病模型中,被接种者免疫力的失去多以指数形式描述,这样相应的模型多为常微分系统[l‘一14].但事实上,疫苗的有效期通常是有限的,即在被接种有限时间后,被接种者的免疫力就消失[8一10].这样在传染病模型中,引入一个时滞参数作为免疫周期会更符合实际,相应的数学模型则为时滞微分系统!15一1刘.在本文,将考虑带有确定免疫期的SIRS传染病接种模型.在该模型中,免疫类R由恢,,复者和被接种者组成并且假设免疫
4、类中的所有个体都具有暂时免疫力同时恢复者和被接种者具有不同的免疫期.2模型描述,、、为了描述模型分别用s(t)双约和R川表示艺时刻易感类染病类和免疫类所拥有的个体数.t时刻的总种群个体数用,N闭二++.N闺表示S(约I(t)侧约基本假设如下:~一:一收稿日期20031017;修订日期200今0808ail:jianq一11@263沮etE-m*:基金项目国家自然科学基金(19971066)和中国博士后基金(2005037785)资助数学物理学报从〕1.26A,;(i)在单位时间内有A个新个体输入(i)每一类(仓室)具有相
5、同的自然死亡率常数峨,(i)接种仅对易感者实施每个易感者的接种率常数为p全0;(iv)每个染病者在单位时间内的有效接触数为口N;,(v)守>0表示每个染病者的恢复率常数a>0表示每个染病者的因病死亡率常数;;(vi)所有新输入者均为易感者(vii)用几和几分别表示恢复者和被接种者所具有的免疫期.,i一viRs有了以上的假设()(i)便可得到带有确定免疫期的sI传染病接种模型,e一“了‘e一d了,,S=A一ds一夕S一口51+守I(,一几)+ps(,一几)I’二口51一(d+a+甲)I,(1)‘e一‘e一“,{R=甲I+p
6、s一dR一守双t一几)击一ps(t一几)几,由于N=S+I+R则‘一al.N=A一dN(2),鉴于系统(l)中的前两个方程不显含变量R于是在以后只需讨论系统‘矛、,lS’I’A一ds一ps一口51+甲双t一几)e一“几+ps(,一几)e一““二=(3)口51一(d+a十守)I.基于系统(3)的实际背景,假设其具有初始条件,,,S(t)=必1(t)任C{卜二0}R+},,,I(t)=沪2(亡)〔C一丁o{R+}4{【(),,必1(0)>O沪2(0)全0其中二=max{几,几}.,,容易验证对于亡全。系统(3)在初始条件(4
7、)下的解是存在唯一的{1513模型分析,定理l对于系统(3)下列结论成立,,,(i)当)一0时对于所有‘全0都有‘(t)三0并且:“(t)一石⋯一:S0;,(0呱而专硕I>0,,>0,(i)当(0)时对于所有t全0都有双t)并且区域,,,’D一‘S‘,:S>0‘>0“+‘A<一{一d;是系统(3)的一个正不变集·(i)记R。一莽黔布一而不石干硒辞缸协可系统(3)总有无病平衡点P0(S0,0).当,,>‘时系统(3)还有地方病平衡点“)一丝士通了1一R0周Se,(去垫a千石千叔i二舀二王于刃犷制)3,I,.证(i)从系统(
8、)的第二个方程易知当(0)=0时对于t全0都有I(艺)三0N0.1李建全等:一类带有接种的流行病模型的全局稳定性I,将二0代入系统(3)的第一个方程得‘e一d,s=A一己s一尹s+ps(亡一几)“它等价于方程s,=一J+夕st一S0}+一d,st一几一.()!()卿{()S0}(5)定义,V(!:“(!s0}2+二!
