带有垂直传染和接种疫苗seirs流行病模型的全局稳定性外文翻译

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1、外文翻译译文：摘要：本文建立一个考虑了疾病的水平传播和垂直传播以及接种疫苗等因素的传染病模型，通过排除周期解、同宿轨和异宿环的存在来研究模型的全局稳定性，最后证明系统的全局动力学特性完全由基本再生数所确定：当时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当时，地方病平衡点是全局渐进稳定的.关键词：传染病模型；垂直传播；疫苗；全局稳定性中图分类号：O17513文献标识码：A在许多传染病模型中，总是假设人口传染病是通过直接接触感染源或通过诸如蚊子等媒介叮咬，或通过水平传播.但是许多传染病不仅有水平传播还有垂直传.垂直传播

2、也可通过媒介的胎盘转移完成，如乙肝，风疹，疱疹的病原体.对昆虫或植物而言，往往是通过垂直传播如卵或种子.Busenberg等人讨论了疾病的水平传播和垂直传播问题.在本文中，我们假设疾病既有水平传播又有垂直传播.我们假定人口具有指数出生，人口被均匀分为四个仓室：易感染者(S)，潜伏者(E)，染病者(I)和恢复者(R).因此总人口为.我们认为这种疾病不是致命的，人均自然出生率和死亡率分别记为参数b和d.我们假设，潜伏者的新生儿进入易感者类，而染病者的新生儿有q比例是感染者.因此进入潜伏者类的新生儿为bqI，

3、.对于染病者类，我们假设δ比例的染病者具有永久免疫力，进入R类，r比例的染病者没有免疫力，进入S类，模型假设易感者类的接种比例为θ.根据上述假设，得到如下微分方程(1)这里β是常规接触率，参数μ是从E类到I类的转换率.参数b，d，β，μ为是正数，θ，σ，r为非负数.设x=S/N;y=E/N;z=I/N和ω=R/N分别表示S，E，I，R在总人口中的比例.易证x，y，z，ω满足下列微分方程：23(2)受的限制，由于变量不出现在方程组（2）的前三式中，这使我们减少方程（2）得到一个子式.(3)在可行的区域内，

4、我们从生物角度研究(3)式(4)在V中(3)式的动态学行为和疾病传播是由如下基本再生数决定的(5)本文的目的是要证明(3)的动力学行为由决定.1数学框架我们简要概述一个一般的数学框架，证明了一个常微分方程系统的全局稳定性，这是在文献[3]中提到的.令是一个函数，x属于开集.让我们考虑如下微分(6)我们记是式(6)中使得的一个解.如果每个对于和充分大的t，则(6)式中集合K收敛于D.我们提出两个基本假设：存在一个紧的吸引集合K⊂D.23在D中(6)具有唯一的平衡点.若是局部稳定且在D中所有的轨迹收敛到，则

5、唯一的平衡点是全局稳定的.对于可行区域是有界圆锥体的传染病模型，是等价于(6)的一致持久性.对于x∈D，设是一个矩阵值函数为的.假设当x∈K，K为紧集时，存在，且为连续的.一个数量定义为(7)(8)矩阵是通过P沿f方向的导数来代替P的每个元素得到的，、和是第二加性复合矩阵f的雅可比矩阵和及μ(B)是B的Lozinskii测度，其向量范数为中的范数.文献[3]中定理3.5给出了如下全局稳定性结果.定理1设D是单连通的，而且假设，成立.如果<0的，则(6)的唯一的平衡点在D是全局稳定的.文献[3]证明了在定

6、理1的条件下，条件<0排除了(6)中有不变闭曲线的可能性，如周期解，同宿轨和异宿轨，因而它蕴含了x的局部稳定性.使用定理1来分析(3)的全局稳定性，设V，定义分别为(4)，(5).易证V是系统(3)的正不变集.2模型(3)的定性分析23易证，如果是模型(3)在V中的唯一平衡点；如果V的内部存在唯一的地方病平衡点.定理2如果，系统(3)的无病平衡点在V中是全局渐近稳定；如果则它是不稳定的，从足够靠近0E出发的轨线远离，从x−轴出发的轨线沿x−轴趋向于.证明令则如果，，而且，如果；否则，如果，则在V中y=z

7、=0.因此集合中的最大紧不变集是单点集.当时，的全局稳定性由Lasalles不变集原理得到.如果，则除了y=z=0的情形，当x足够接近时候，.因此，从足够接近出发的轨线远离，从X轴出发的轨线满足系统(3)的方程，从而当t→∞，.当时，V中系统(3)的全局动力学完全由定理2决定.其流行病学含义是，受感染人口在总人口中的比例(即潜伏者和染病者比例之和)随着时间而趋于零.引理1如果，此时系统(3)在v中是一致持久的，也即存在一个常数0<ε<1使得从出发的任意解都满足23证明我们运用参考文献[4]中的定理4.5

8、来证明此引理.为了证明当，系统(3)满足定理4.5的所有条件，我们选择V=X，，V.那么是X中的一个不变集，令，由定理2知，包含的同宿轨道不存在，而且M是一个弱排斥子.因此M是的非循环的，孤立的，覆盖.因此，文献[4]中定理4.5的所有条件系统(3)都满足，因此引理得证.为了证明地方病平衡点*E的全局渐近稳定性，我们需要另一个引理.引理2假设是(3)的解且.如果，则存在，当时，解满足.证明由(3)的第一个方程知如果bq≥r，显然成立.如果b