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《)一类带有一般接触率和常数输入的流行病模型的全局分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、应用数学和力学,第25卷第4期(2004年4月)应用数学和力学编委会编AppliedMathematicsandMechanics重庆出版社出版文章编号:1000-0887(2004)04-0359-09一类带有一般接触率和常数输入的X流行病模型的全局分析1,211李健全,张娟,马知恩(1.西安交通大学应用数学系,西安710049;2.空军工程大学电讯工程学院,西安710077)(李继彬推荐)摘要:借助极限系统理论和构造适当的Liapunov函数,对带有一般接触率和常数输入的SIR型和SIRS型传染病模型进行讨论·当无染病者输入时,地方病平衡点存在的阈值被找到·对相应的SIR模型
2、,关于无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性均得到充要条件;对相应的SIRS模型,得到无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件·当有染病者输入时,模型不存在无病平衡点·对相应的SIR模型,地方病平衡点是全局渐近稳定的;对相应的SIRS模型,得到地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件·关键词:传染病模型;平衡点;全局渐近稳定性;极限系统中图分类号:O175.12文献标识码:A引言在现实生活中,传染病广泛存在·利用数学模型分析和研究传染病的传播已是数学应用的一个重要领域·通常将总种群(N)分为3个子种群(类):易感类(S),染病类(I)和恢复类(免疫类)(R)·由Kermack和
3、McKendrick建立的SIR传染病模型是大多数传染病模型的基础([1])·传统的传染病模型通常用标准传染率βSI/N或双线性传染率βSI([2,3])·在本文中,假设疾病的传染率为β(N)SI,其中传染系数β(N)满足下列条件([4]):β(N)>0,β′(N)≤0,β(N)N′≥0,和22β′(N)+(β(N)N)′>0·易知,β(N)=λ/N和β(N)=λ都满足对β(N)的假设,它们分别对应于标准传染率和双线性传染率·假设疾病的传播机制如图1·图1中S=S(t),I=I(t)和R=R(t)分别表示易感类,染病类和恢复类在t时刻的数量·N=N(t)表示总种群在t时刻的数量,
4、N(t)=S(t)+I(t)+R(t)·A(A>0)表示对总种群的常数输入率,a、b和c(a>0,b≥0,c≥0,a+b+c=1)分别表示对易感类、染X收稿日期:2002-08-05;修订日期:2003-09-05基金项目:国家自然科学基金资助项目(19971066)作者简介:李健全(1965—),男,山西万荣人,副教授,博士(联系人.+86-29-84397993;Fax:+86-29-83237910;E-mail:jianq-li@263.net).359©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allr
5、ightsreserved.http://www.cnki.net360李健全张娟马知恩病类和恢复类的输入比例·d(d>0)表示各类的自然死亡率,α(α>0)表示染病类的因病死亡率,γ(γ>0)表示染病类的恢复率,:(:≥0)表示恢复者的免疫失去率·:>0意味着恢复者的免疫力是暂时的,:=0意味着恢复者具有永久免疫力·图1疾病的传播机制在以上假设下,疾病的传播模型可写为:S′=aA-β(N)IS-dS+:R,I′=bA+β(N)IS-(d+γ+α)I,(1)R′=cA+γI-(d+:)R·由于N=S+I+R,因此从(1)可得:N′=A-dN-αI·(2)将S=N-I-R代入(1)
6、中的第二个方程,则由(1)中的后两个方程和(2)有:I′=bA+Iβ(N)(N-I-R)-(d+γ+α),R′=cA+γI-(d+:)R,(3)N′=A-dN-αI·当:=0时,系统(1)是SIR型的·当:>0时,系统(1)是SIRS型的·通常SIR模型适用于由病毒传播而导致的流行病,而SIRS模型适用于由病菌传播而导致的流行病·当c=0、:=0且β(N)为常数时,(1)对应的模型在[5]中已作讨论·在本文,我们将分两种情形:b=0和b>0来考虑系统(3)·b=0意味着没有染病者输入,而b>0则意味着有染病者输入到种群内·1情形:b=0b=0意味着对种群的输入不含有染病者,即对种
7、群的输入或是易感者或是恢复者·这时,a+c=1·对此情形,系统(3)变为I′=Iβ(N)(N-I-R)-(d+γ+α),R′=cA+γI-(d+:)R,(4)N′=A-dN-αI·定理1.1对系统(4),下列结论成立·1)当I(0)=0时,对任意t>0恒有I(t)=0,且limR(t)=cA/(d+:),limN(t)=t→∞t→∞A/d·2)当I(0)>0,对任意t>0恒有I(t)>0,且Ω=(I,R,N):I≥0,R>0,I+R
