冲刺2021新高考数学多选专题04 解三角形.doc

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1、专题四解三角形一．知识梳理知识点一　正弦定理及其推论设△ABC的外接圆半径为R，则(1)＝＝=　(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.(4)在△ABC中，A>B⇔.a>b⇔sinA>sinB知识点二　余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)cosA＝；cosB＝；cosC＝　.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

2、ha＝bhb＝chc；(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB.二．跟踪训练1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（　　）A．a2＝b2+c2﹣2bccosAB．asinB＝bsinAC．a＝bcosC+ccosBD．acosB+bcosA＝sinC【答案】A，B，C【解析】由在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知：在A中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，故A正确；在B中，由正弦定理得：，∴asinB＝bsinA，故B正确；在C中，∵a＝bcosC+ccosB，∴由余弦定理得：a＝b×+c

3、×，整理，得2a2＝2a2，故C正确；在D中，由余弦定理得acosB+bcosA＝a×+b×＝+＝c≠sinC，故D错误．故选A，B，C.2.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（）A.若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；B.若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；C.若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形．D.若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或【答案】C，D【解析】对于A：sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝，即△ABC是直角三角形．故A不对；对于B：由

4、sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝.∴△ABC不一定是直角三角形；对于C：sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2b，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.∴S△ABC＝bcsinA＝或.D正确3.下列命题中，正确的是（）A．在△ABC中，B．在锐角△ABC中，不等式恒成立C．在△ABC中，若，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若，则△ABC必是等边三角形【答案】A，B，D【解析】在△ABC中,由，利用正弦定理可得：∴

5、，,∴或，因此△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误.4.以下关于正弦定理或其变形正确的有(　　)A．在△ABC中，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝bC．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，若A＞B，则sinA＞sinB都成立D．在△ABC中，＝【答案】A，C，D【解析】由正弦定理易知A，C，D正确．对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝，∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B错误.5.在△ABC中，下列结论错误的有（）A.a2＞b2+c2，

6、则△ABC为钝角三角形B.a2＝b2+c2+，则∠A为45°；C.a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形D.若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则a：b：c＝1：2：3．【答案】B，C，D【解析】对于①，若a2＞b2+c2，则b2+c2﹣a2＜0，即有cosA＝＜0，即A为钝角，故①对；对于②，若a2＝b2+c2+bc，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，则cosA＝＝﹣，即有A＝135°，故②错；对于③，若a2+b2＞c2，则a2+b2﹣c2＞0，即cosC＞0，即C为锐角，不能说明A，B也是锐角，故③错；对于④，若A：B：C＝1：2：3，则A＝30°，B＝60°，C＝90

7、°，故a：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°＝1：：2．故④错．故选A．6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A．当k=5时，△ABC是直角三角形B．当k=3时，△ABC是锐角三角形C．当k=2时，△ABC是钝角三角形D．当k=1时，△ABC是钝角三角形【答案】A，B，C【解析】当k=5时，，根据正弦定理不妨设a=5m，b=3m，c=4m，显然△ABC是直角三角形；当k=3时，，根据正弦定理不妨设a=3m，b=3m，c=4m，显然△ABC是等腰三角形，，说明∠C为锐角，故△ABC是锐角三角形