2021届高考数学考向击破（文理通用）专题5.3 求通项的综合运用（解析版）.docx

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1、5.3求通项的方法考向一公式法【例1】(1)(2018·全国卷Ⅰ改编)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________.（2）设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.【答案】（1）－2n－1（2）【解析】∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，∴a

2、n＝－1×2n－1＝－2n－1.（2）因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{an}的通项公式为an＝.【方法总结】1．已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．2

3、．Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．【举一反三】1．（2017·陕西高考模拟）已知正项数列中，，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．[来源:学科网]【答案】B【解析】由题意得，又，所以，选B.2．（2019·山西高考模拟（文））记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】当时，

4、，解得；当时，，，两式相减可得，，故，设，故，即，故.故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，故.故答案为：考向二累加法【例2】（2019·北京101中学）在数列中，，则数列的通项________.【答案】【解析】当时，，，当也适用，所以.【举一反三】1．（2019·陕西高考模拟（理））在数列{an}中，an+1+n+1=an+n+2n-1，a1=0，则a8=__________．【答案】2492【解析】令bn=an+n，则bn+1-bn=2n-1，b1=1，∴b8=b8-b7+b7-b6+...+b2-b1+

5、b1=13+11+...+1+1=50，∴a8+8=50，∴a8=2492.2．（2019·湖北高一期末）数列满足，（且），则数列的通项公式为________.【答案】【解析】当时满足故答案为：考向三累乘法【例3】（2019·滁州市第二中学）已知数列中，且当时，则数列的前项和=__________．【答案】【解析】，数列的前项和故答案为：【举一反三】1．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．【答案】【解析】(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a

6、2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理，得an＝an－1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1，将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an＝.当n＝1时，a1＝1也符合上式，综上，{an}的通项公式an＝，n∈N*.考向四构造法【例4】（1）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，求数列{an}的通项公式．(2)已知在

7、数列中，a1＝2，an＋1＝2an＋3·2n，则an＝________.【答案】（1）an＝2n＋1－2(n∈N*)．（2）2n·，n∈N*【解析】（1）∵an＋1＝2an＋2，∴an＋1＋2＝2(an＋2)，又a1＋2＝4，∴{an＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2(n∈N*)．（2）在递推关系an＋1＝2an＋3·2n的两边同除以2n＋1，得＝＋，令bn＋1＝，则bn＋1＝bn＋，b1＝1，所以{bn}是以1为首项，为公差的等差数列．所以bn＝1＋(n－1

8、)＝n－，故an＝2n·，n∈N*.【举一反三】1．（2019·安徽）已知数列中，，，则数列的通项公式为__________.【答案】【解析】由得：数列是以为首项，为公比的等比数列本题正确结果：2.在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．【答案】an＝·4n－1－【解析】因为点Pn(an，a