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1、第八章分离变数法(傅里叶级数法)基本思想：绝大多数定解问题都是一个整体，不可能先求方程的通解再求特解，可以尝试先将偏微分方程分离为几个常微分方程，再与分离的定解条件(一般是边界条件)构成本征值问题。分离变数(傅里叶级数)法内容各类齐次偏微分方程分离变数法求解，非齐次方程非齐次边界条件的处理方法。教学提示：重点掌握齐次方程的分离变数法的基本思想方法。理解本征值与本征函数(本征值问题)的概念。掌握对一些物理方程分离变数的计算。了解非齐次振动方程和输运方程的傅里叶级数求解法。理解非齐次边界条件的处理方法。§8.1齐次方程的分离变数法(驻波法)一、基本步骤：求解
2、两端固定的均匀弦的自由振动：泛定方程①边界条件初始条件解：1)尝试解u(x,t)=X(x)T(t)②定解问题两端均为第一类齐次边界条件代入①得显然有方程改写为③及④t为变数，T(t)不可能为0x，t独立，二者相等只能都为常数本征值问题2)求x讨论方程③：(1)若λ<0，则通解为由，可解得C1=C2=0从而u=XT=0，无意义，舍去。(2)若λ=0解得C1=C2=0，舍去。(3)若λ>0，则通解为由显然C2≠0，必须，则(n为正整数)本征值⑤本征函数族⑥3)求T⑤代入④得通解为⑦⑥⑦代入②：u(x,t)=X(x)T(t)得各个特解⑧本征解(本征振动)定解问
3、题线性，可叠加性：通解(一般解)为⑨4)求确定解由初始条件得将左端视为及的傅里叶级数，则：(将、奇延拓至[-l,l]上成为奇函数→展开为正弦级数)讨论：解的物理意义(1)每一个n，对应一种驻波，称为本征振动(本征解)；(2)当时,，这n+1个点对应波节；当时,，即，对应波腹；由，得波长或。(3)圆频率频率(4)n=1，对应基波，波长λ1=2l最长，频率f1=a/2l最小；n>1，对应n次谐波。本征振动(振动的简正模式)两端固定的弦线形成驻波时，波长λn和弦线长l应满足，,由此频率决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式。两端固定的弦振动的简正模式一端固定
4、一端自由的弦振动的简正模式求解过程：本征解(解2×解1)偏微分方程解2常微分方程2分离变量常微分方程1条件本征值问题分离变量齐次边界条件解1(本征函数)初始条件确定叠加系数所求解=∑本征解本征值例1：(第二类齐次边界条件)解：根据边界条件的特点，尝试解①其解为级数解由初始条件定系数例：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭，另一端开放，试求管内空气柱的本征振动(可以不提初始条件)。解：(第一+第二类齐次边界条件)令u(x,t)=X(x)T(t)得①②讨论②：对λ≤0，只能得X(x)≡0。对λ>0，解得必须本征值本征函数带入①式，得本征振动单簧管发出的声音只有奇
5、次谐音而没有偶次谐音，从而构成它特有的音色。对本例的定解条件，由，可将区间(0,l)延拓到区间(0,2l)上。延拓后条件为①②③由①、③知，本征函数是再由②得，n只能是奇数例2：(输运问题：P149)研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零可看作长为2l的弦度，另一端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。解：(第一类齐次边界条件)(第二类齐次边界条件)令u(x,t)=X(x)T(t)①②(1)λ≤0，只能得X(x)≡0。(2)λ>0，解得由边界条件解为再由初始条件讨论：(1)对本例的定解条件，由，
6、可将区间(0，l)延拓到区间(l，2l)上。延拓后条件为①②③由①、③知，本征函数再由②得，n只能是奇数，即n=2k+1(2)关于当t>0.18l2/a2时，只需保留k=0项例3：(P152稳定场举例)散热片的横截面为矩形。它的一边y=b处于较高温度U，其它三边y=0，x=0和x=a则处于冷却介质中因而保持较低的温度u0。求解这横截面上的稳定温度分布。解：一般方法，令u(x,y)=v(x,y)+w(x,y)原方程化为和本例，可令u(x,y)=u0+v(x,y)，得试探解：v(x,y)=X(x)Y(y)本征值本征函数解得：本征解一般解再由非齐次边界条件得将
7、右边展为傅里叶正弦级数(奇延拓)，比较两边系数得：P154例4带电的云与大地之间的电场近似是匀强静电场，其电场强度E0是竖直的，方向向下。水平架设的输电线处于这个静电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，如图所示。不过离圆柱“无远限远”处的静电场仍保持为匀强。现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场，求柱外的电势分布。解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问题。取圆柱的轴为Z轴。如果圆柱“无限长”，那么，这个静电场的电场强度、电势显然与Z坐标无关，我们只需在XY平面上研究就行了。图中画出了XY平面上的静
8、电场分布。圆柱面在XY平面的剖口是圆X2+Y2=a2，a是圆柱的半径柱外的空间中
