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《第8.1节(齐次方程的分离变量法).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第八章分离变数(傅里叶级数)法分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的第一节、齐次方程的分离变数法（一）分离变数法介绍研究两端固定的均匀弦的自由振动，即：边界初始征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几1这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射同频率的反向波形成驻波在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！把上式代入振动方程和边界条件可得：（与t无
2、关）式随时间t振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是x的函数X（x），则驻波的一般表达式为：2对于方程同除则可得左边是时间t的函数，与坐标x无关，右边是坐标x的函数，与就把原方程分为两个常微分方程，即：我们先来求解X，根据的不同来考察（1）时间t无关，显然不等，除非等于常数，记常数为3方程的解是积分常数由初始条件确定：由此可得即驻波没有意义，故排除！（2）此时方程的解是：积分常数由初始条件确定：由此可得即没有意义，故排除！4（2）此时方程解为：积分常数由初始条件来确定此时如果仍然可得从而应该予以排除！只剩下一种可能：则即：而此时C2为任意常数注：上式正是傅里叶正弦级数的基
3、本函数族！5由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数不能为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能使原方程有有意义的解。常数的这种特殊数值叫做本征值，而此时T的方程应该写成：此方程的解为：其中，A，B为积分常数把X（x）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解：相应的解叫做本征函数，即构成本征值问题。6这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个在共计n＋1个点上，则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点相邻节点间隔l/n为半波长，故波长应为：2l/n本征振动的角频率为则频率为:当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在N>1的各个驻
4、波叫做n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na/2l驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动。所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做基波.是基波的n倍.7以上的本征振动是满足弦振动方程和边界条件的线性独立的特解,由于方程和边界条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加:仍然满足原方程和边界条件,此即满足方程的一般解,其中A,B为任意常数但此时未考虑初始条件!以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的把上述一般解代入初始条件,可得:叠加系数An和Bn,满足初始条件:8左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数展开成傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn:这
5、样,我们就得到了原定解问题的解:系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由第一类边界条件确定的!9偏微分方程分离变数常微分方程2解2本征解解2×解1齐次边界条件分离变数常微分方程1条件解1（本征函数）所求解＝初始条件关键在于分离变数，使偏微分问题化为常微分问题，同时把边界分离变数法条件化为常微分方程的附加条件，构成本征值问题。可以推广到线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！10求解:11（二）例题例1：磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的（边界条件）（初始条件）（泛定方程）解分离变量：代入泛定方程和边界条件即：均匀杆，作纵振动，定解问题如下：12对于
6、方程化为：两边分别是x和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为则于是可分解为关于X和T的常微分方程（1）（2）对于本征值问题（1）如果则X（x）恒为零，无意义。如果则方程的解是：代入常微条件得：D0＝0则13为对应于本征值的本征函数如果方程的解是：积分常数满足：故C2＝0若C1＝0，则无意义！则可得：即相应的本征函数为：以下把的情况合二为一。14C1为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。将本征值代入T的方程可以得到：解分别为：其中系数均为独立的任意常数。把X（x），T（t）分别代回得到本征振动如下：15注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。所有本征振动叠加即得一般解：其中
7、系数由初始条件确定。把一般解代入初始条件，可以得到：16把左边的函数展开成傅里叶余弦级数，比较系数由上可知，A0和B0分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件类齐次边界条件所决定的。不受外力作用，以不变的速度B0移动，傅里叶余弦级数是由第二另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。温度为U0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，17可得杆上温度U（x，t）
