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《数值计算方法A卷标准答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。一.填空题(每空2分,共34分)1.设x*2.40315是真值x2.40194的近似值,则x*有3位有效数字。2.求方程xcosx根的牛顿迭代格式是k1kxkcosxk。_xx1sinxk____________3．迭代法xk12xk12收敛于x*__33________,此迭代格式是__2__阶3xk收敛的。5.bnAkf(xk)的插值型求积公式,形如f(x)dx其代数精度至少可ak0达____n_____次,至多可达___2n1______次。6.向量X(3,2)T,,矩阵A723,则1AX1___36____,CondA)_
2、__90_____。7．对矩阵A作如下的LU分解:223100223A4772100b12451a1006,则a___2____,b___3____8.设Aa10要使limAk0,a与b应满足___a1,b1____。0b,k10.设xi(i0,1,2,3,4,5)为互异节点,li(x)为对应的5次Lagrange插值基函数,5541)li(x)=__x5(ln2)x4则(xi(ln2)xi1_________i0二.(12分)资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。设函数f(x)在区间[0,2]上具有四阶连续导数,试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H(
3、x),并写出其余项R(x)f(x)H(x)的表示式x012f(x)129f'(x)4解:N2(x)f(0)f[0,1](x)f[0,1,2](x)(x1)1x3x(x1)(5分)3x22x1H(x)N2(x)ax(x1)(x2)H'(x)6x2a(x1)(x2)x04分)a3(8H(x)3x22x13x2(x1)(x2)(10分)3x36x24x1令R(x)f(x)H(x),作辅助函数g(t)f(t)H(t)k(x)t2(t1)(t2)则g(t)在[0,3]上也具有4阶连续导数且至少有4个零点:tx,0,1，2k(x)f(4)()(g(4)()0)重复利用罗尔定理可得:4!,因此R(x)f(
4、4)()x2(x1)(x2)(12分)4!三．(12分)1'(0),求积公式f(x)dxA0f(0)A1f(1)B0f又知其误差余项为0Rkf'''(),[0,1]。试确定系数A0,A1,及B0,使该求积公式有尽可能高的代数精度,指出其代数精确度的次数并确定误差式中的k值。资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。解:将f(x)1,x,x2分别代入公式得:1A0A11A1B0解得A1＝1，A0＝2，B0＝1(6分)23361A13当f(x)x3时,左边等于1,右边等于1,因此求积公式最高代数精度为2。43(9分)将f(x)x3代入有误差项中的积分式中1x3dx116k04
5、3(12分)1k72四．(12分)分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组x12x233x12x24写出迭代格式,并判断收敛性。若将原方程组变为3x12x24x12x23再用上述两种迭代法求解是否收敛?说明原因。解:雅可比迭代格式为023xk13xk202(B)3发散(4分)高斯-赛德尔迭代格式为资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。xk102350xk32(B)3发散(8分)方程组变为形式后方程均严格对角占优,则收敛。(12分)五.(16分)1.(8分)用Gauss列主元消去法解方程组:x1x2x34,5x14x23x312,2x1x2x311.111454
6、31254312128解:5431211140(3分)55521111211110131795555431254312013179013179(6分)555555012800555551313x(3,6,1)(8分)六.(下列2题任选一题,8分)1．设a0,试建立计算xa的牛顿迭代公式,并分析其收敛性。解:1.1.解:问题转换为求解f(x)x2a(x0)的正根。牛顿迭代公式为x1xxk2a1(xka),k0,1,2(2分)kk2xk2xk下面证明对任何初值x00迭代过程收敛。资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。f'(x)2x0,f"(x)20.根据定理2.8,对于任
7、何x0a,迭代公式收敛。(5分)当x0(0,a)时,由f的单调性知x1x0f(x0)f'(x0)x0f'()(ax0)f'(x0)x0(ax0)a对任何初值x00迭代过程收敛。(8分)七.(6分)设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数,且f(a)f(b)0,证明maxf(x)1(ba)2maxf''(x)axb8axb(xb)(xa)f(b)f''(x)a)(xb)f(x)f(a)b)(x证明:(ab)(b
