数值计算方法a卷标准答案

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1、一.填空题（每空2分，共34分）1.设是真值的近似值，则有    3 位有效数字。2.求方程根的牛顿迭代格式是。3．迭代法收敛于，此迭代格式是阶收敛的。5.形如的插值型求积公式,其代数精度至少可达次，至多可达次。6.向量，,矩阵，则___36____，Cond。7．对矩阵A作如下的LU分解：，则，8.设，要使，与应满足 。10.设为互异节点，为对应的5次Lagrange插值基函数，则=二.(12分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并写出其余项的表达式012101294解：（5分）（8分）（10分）令，作辅助函数则在上也具有4阶连续导

2、数且至少有4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以(12分)三．（12分）求积公式又知其误差余项为试确定系数，使该求积公式有尽可能高的代数精度，指出其代数精确度的次数并确定误差式中的值。解：将分别代入公式得：（6分）当时，左边等于，右边等于，所以求积公式最高代数精度为2。（9分）将代入有误差项中的积分式中10（12分）四．(12分)分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组写出迭代格式，并判断收敛性。若将原方程组变为再用上述两种迭代法求解是否收敛？说明原因。解:雅可比迭代格式为发散（4分）高斯-赛德尔迭代格式为发散(8分)方程组变为形式后方程均严格对角占优，则收敛。（12分）五.

3、（16分）1.（8分）用Gauss列主元消去法解方程组：10解：（3分）(6分)(8分)六.（下列2题任选一题，8分）1．设，试建立计算的牛顿迭代公式，并分析其收敛性。解：1.1.解：问题转换为求解的正根。牛顿迭代公式为（2分）下面证明对任何初值迭代过程收敛。根据定理2.8,对于任何，迭代公式收敛。（5分）当时，由f的单调性知对任何初值迭代过程收敛。（8分）七.（6分）设在上具有二阶连续导数，且证明证明：（3分）10则（6分）***********************一.填空题（每空2分，共40分）1.设是真值的近似值，则有    2 位有效数字。5.向量，,矩阵，则___3__

4、___，Cond。7.设，则  。9.设是次Lagrange插值基函数，则。11.写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式为，迭代矩阵为。此迭代法是否收敛收敛。四.（16分）1.（8分）用Gauss列主元消去法解方程组：10解：（3分）(6分)*****************************一.填空题（每空2分，共40分7.设，则  。9.设是次Lagrange插值基函数，则。二.（12分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。

5、解：（1），，故收敛；（3分）10（2），，故收敛；（6分）（3），，故发散。（9分）选择（1）：，，，，，，（12分）三.(12分)四.（16分）1.（8分）用Gauss列主元消去法解方程组：解：（8分）五．（12分）数值积分公式形如（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。解：将分布代入公式得：（8分）10构造Hermite插值多项式满足其中则有：，（10分）（12分）*****************************一.填空题（每空2分，共40分）1.改变函数()的形式，使计算结果较精确。5.设,则9，91。7.设，，则（谱半径）____

6、=______。（此处填小于、大于、等于）9.是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则1，。11.写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式10迭代矩阵为，此迭代法是否收敛是收敛。二.（12分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1），，故收敛；（3分）（2），，故收敛；（6分）（3），，故发散。（9分）选择（1）：，，，，，，（12分）三.(12分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插

7、值多项式，并写出其余项的表达式012012-113310解：设（4分）（6分）由得：所以（9分）令，作辅助函数则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以（12分）四.（16分）1.（8分）用Gauss列主元消去法解方程组：解：（8分）10