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1、数值计算方法课程设计12020年4月19日文档仅供参考《数值计算方法》课程设计非线性方程（组）的解法问题的提出分析比较Newton法、Newton法的变形格式。然后分别用Newton法、简化Newton法、选取不同的初值求解下面方程组，对于相同的精度要求，比较这两种方法的运行时间。f1(x1,x2)x12x230f2(x1,x2)2x12x2250背景分析牛顿法是一种重要迭代法，她是逐步线性化方法的典型代表，牛顿法的特点是每一步都需要计算f(x(k))以及f'(x(k))，其计算量比较大，为了减少计算量，提出简化牛顿法。算法思想1、牛
2、顿法设有非线性方程组F(x)0其中F(x)(f1(x),f2(x),...,fk(x))T由fi(x)偏导数作成的矩阵记为J(x)，称为F(x)的雅克比矩阵f1(x)f1(x)f1(x)x1...xnx2f2(x)f2(x)f2(x)J(x)...xnx1x2.........22020年4月19日文档仅供参考fn(x)fn(x)...fn(x)x1x2xn设x*为F(x)0的解，且x(k)(x1(k),x2(k),...,xn(k))为x*的近似解。利用多元函数fi(x)在x(k)点的泰勒公式有f(x)f(k))(x(k)fi(x(
3、k))...(xx(k)fi(x(k))1n(xx(k))(xx(k))?2fi(Ci)(xx)n)jjlP(x)R(i1,2,...,n)ii11x1nxn2j,l1lixjxl其中，Ci在x(k)与x的所的段内。如果用上式中的性函数P(x)近似替代f(x)，并将性方程iiPi(x)fi(x(k))(x1(k)fi(x(k))(xnxn(k)fi(x(k))⋯..(1)x1)...)0x1xn的解作x*的第k1次近似解x(k1)将（1）式写成矩形式，即F(x(k))J(x(k))(xx(k))0J(x(k))非奇异矩,牛迭代公式：x
4、(0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)x(k1)x(k)J(x(k))1*F(x(k))(k0,1,2)求解非性方程F(x)0牛方法x(0)(k)V(k)(k))J(x)xF(xx(k1)x(k)Vx(k)2、化牛法在牛法的基上，了减少算量，将J(x(k))均取J(x(0))，得如下化牛公式：x(0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)x(k1)x(k)J(x(0)1)*F(x(k))(k0,1,2)32020年4月19日文档仅供参考其中（2）（3）式均为线性收敛的。算法设计将一个非线性方程组写成向量的形式有：F(x)=0牛顿迭代法的公式就是：x(k+1
5、)=x(k)-F’(k)(x)-1F(x(k))其中’(k)为矩阵，我写的这段程序就是根据这个公式F(x)Jacobi来的。运用MATLAB中的jacobian求出F的雅克比矩阵，用inv求逆matrix=@(varargin)[varargin{:}]构造迭代函数在比较牛顿法和简化牛顿法运行时间方面，我们主要是经过比较迭代次数。程序清单牛顿法源程序：functionx=newton_solve(F,v,x0,e)if(~ischar(F)
6、
7、~ischar(v))%定义类型error('ParameterFandvshouldbec
8、hartype!');endif(~isnumeric(x0)
9、
10、~isnumeric(e))error('Parameterx0andeshouldbenumerictype!');42020年4月19日文档仅供参考endF=sym(F);v=sym(v);dF=jacobian(F,v);tF=inv（dF）*Fforindex=1:numel(v)tF=subs(tF,v(index),['x('num2str(index)')']);%把x分量化，把x1变成x（1），把x2变成x（2）endmatrix=@(varargin)
11、[varargin{:}].';%构造迭代函数phi=['x-'char(tF)];eval(['phi=@(x)'phi';']);err=inf;%无穷大xold=phi(x0);n=0;whileerr>exnew=phi(xold);%用本次结果与上次结果差的范数来衡量误差err=norm(xnew-xold);xold=xnew;n=n+1;%迭代次数大于10000是退出循环52020年4月19日文档仅供参考if(n>10000)break;endn%迭代次数endx=xold;简化牛顿法的源程序：functionx=sim
12、newton_solve(F,v,x0,e)if(~ischar(F)
13、
14、~ischar(v))%定义类型error('ParameterFandvshouldbechartype!');endif(~isnumeric
