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《高考数学一轮复习人教B版抛物线的标准方程与几何性质学案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯考查角度4抛物线的标准方程与几何性质分类透析一抛物线的定义与应用例1在平面直角坐标系xOy中,设点F,直线l:x=-,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l,则动点Q的轨迹方程为.解析由题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,∴RQ是线段FP的垂直平分线.∵
2、PQ
3、是点Q到直线l的距离,又点Q在线段FP的垂直平分线上,∴
4、PQ
5、=
6、QF
7、.结合抛物线的定义,2可知动点Q的轨迹是
8、以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y=2x.方法技巧结合图形,借助垂直平分线的性质进行适当的转化,得到该动点满足抛物线轨迹的条件,从而确定其轨迹方程,需要注意限定条件的应用.分类透析二抛物线的标准方程例2已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则抛物线的方程为().A.y2=4xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知抛物线的焦点坐标为F,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y
9、=x-,即x=y+,将其代入抛物线方程得y2-2py-p2=0,所以=p=2,2所以抛物线的方程为y=4x,故选A.方法技巧确定抛物线的标准方程时,可以借助抛物线的几何性质,也可以利用直线与抛物线的位置关系进行求解.分类透析三抛物线的几何性质与应用1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯例3如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦.设A(x,y),B(x,y),AB的中点M(x,y),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂11
10、2200足分别为A,M,B,则
11、
12、+
13、
14、的值为().111A.B.pC.D.2p解析当直线AB的斜率不存在,即与x轴垂直时,
15、FA
16、=
17、FB
18、=p,∴
19、
20、+
21、
22、=+=.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k-,代入y2=2px中,得-=2px,即k2x2-p(k2+2)x+=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=,xAxB=.∵
23、FA
24、=xA+,
25、FB
26、=xB+,∴
27、FA
28、+
29、FB
30、=xA+xB+p,∴
31、FA
32、·
33、FB
34、==xAxB+(xA+xB)+=(xA+xB+p).∴
35、
36、FA
37、+
38、FB
39、=
40、FA
41、·
42、FB
43、·,即
44、
45、+
46、
47、=,选C.答案C,解题时,不方法技巧该题给出了抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质可忽视AB⊥x轴的情况.例4设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上的三点,若++=0,则
48、
49、+
50、
51、+
52、
53、=.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由题意知,(1,0),2因为++0,Fp=.=所以(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,所以
54、
55、+
56、
57、+
58、
59、=x1+x2+x3+p=6.答案6方法技巧对于抛
60、物线和平面向量相结合的题目,可以借助平面向量的坐标运算求解,需要注意平面向量的有关运算性质的运用.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1.(2018年全国Ⅰ卷,理8改编)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为1的直线与C交于M,N两点,若·=4,则p=.解析由题意得直线的方程为2,设点M(x1,y1),N(x2,y2),y=x+则联立方程组消去y并整理,得x2+(4-2p)x+4=0,则x1x2=4,x1+x2
61、=2p-4.因为=-,=-,所以·=-·-=-·-+y1y2=2x1x2+-(x1+x2)++4=4,解得p=8(其中p=0舍去),故p的值为8.答案82.(2017年全国Ⅰ卷,理10改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作互相垂直的两条直线AB,CD与抛物线分别相交于点A,B以及C,D,若+=1,则四
62、
63、
64、
65、边形ACBD的面积取得最小值时,直线AB方程为().A.y=±(x-1)B.y=x-1C.y=1-xD.y=2x-1解析由抛物线的性质可知
66、
67、+
68、
69、=,又+=1,∴p=2,即y
70、2=4x.
71、
72、
73、
74、设直线AB的斜率为k(k≠0则直线CD的斜率为-.∴直线AB的方程为y=k(x-1),联立-2222消去y,得kx-(2k+4)x+k=0.从而xA+xB=2+,xAxB=1.由弦长公式得
75、AB
76、=4+,3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯以-换k得
77、CD
78、=4+4k2,故四边形ACBD的面积为
79、AB
80、·
81、CD
82、=·4+4k2)=812≥32当k2=1时取等号),即面积的最小值
