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时间:2020-03-31
《高二数学 抛物线的定义-标准方程及几何性质(文) 人教实验B版.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高二数学抛物线的定义;标准方程及几何性质(文)人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容:抛物线的定义;标准方程及几何性质二.本周学习目标掌握抛物线的定义,标准方程,能根据条件利用待定系数法求抛物线的方程,掌握抛物线的几何性质。了解抛物线的参数方程,能根据方程讨论曲线的性质,掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法,能够正确熟练地解决有关直线和抛物线的位置关系的一些问题。三.考点分析(一)抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。(二)1.抛物线的标准方程、图像及几何性质:焦点在轴上,开口向右焦点在轴上,开口
2、向左焦点在轴上,开口向上焦点在轴上,开口向下标准方程图形顶点对称轴轴轴焦点离心率准线通径(是过焦点的所有弦中最短的弦)焦半径焦准距11用心爱心专心2.抛物线标准方程中p的几何意义是:焦点到准线的距离,故p>03.抛物线的标准方程中,一次项的变量决定对称轴,一次项的符号决定开口方向。4.弦长公式:(1)过焦点F(,0)的弦长:x,x分别为弦AB的端点的横坐标,y,y分别为弦AB的端点的纵坐标,弦
3、AB
4、=x+x+p,,yy=-p(2)一般的弦长公式:类似于椭圆,x,x分别为弦PQ的横坐标,y,y分别为弦PQ的纵坐标,弦PQ所在的直线方程为y=kx+b,代入抛物线方程整理得Ax+Bx+C=
5、0,则=,若y,y分别为弦PQ的纵坐标,则=5.斜率为k的弦的中点的轨迹方程是:y=,一条平行于x轴且不包括端点在抛物线内部的射线。6.与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切(2)设AB为焦点弦,端点在准线上的射影为A,B,M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF(3)若P为AB的中点,则PA⊥PB(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。7.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。【典型例题】例1.指出抛物线的焦点坐标、准线方程
6、.(1)(2)分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中的哪一种,求出p,再写出焦点坐标和准线方程。(2)先把方程化为标准方程形式,再对a进行讨论,确定是哪一种后,求p及焦点坐标与准线方程.解:(1),∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:(2)原抛物线方程为:,11用心爱心专心①当时,,抛物线开口向右,∴焦点坐标是,准线方程是:.②当时,,抛物线开口向左,∴焦点坐标是,准线方程是:.综合上述,当时,抛物线的焦点坐标为,准线方程是:.例2.分别求满足下列条件的抛物线的方程。过点B(-3,2);焦点在直线上解:(1)依题意,设所求抛物线的方程为∵抛物线过点B(-3,2),代入得代入得∴
7、所求抛物线的方程为(2)令,令∴抛物线的焦点坐标为(0,-2)或(4,0)当焦点坐标为(0,-2)时,抛物线的方程为当焦点坐标为(4,0)时,抛物线的方程为反思:抛物线的开口方向有四种,相应的标准方程的形式也就有四种,因此,在解题时要利用图形全面分析,防止遗漏符合题设条件的某个开口方向,从而防止遗漏符合题设条件的抛物线的标准方程。例3.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为轴,抛物线上的点到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和的值。解法一:设抛物线方程为,则焦点为,由题设可得:11用心爱心专心解得或故抛物线方程为的值为解法二:设抛物线方程为,则焦点为,准线方程为.根据抛物线定义,到焦点的距离等
8、于5,也就是到准线的距离等于5,则因此抛物线方程为.又点在抛物线上,于是点评:解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,既快捷又方便,要善于转化。例4.斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段。AB的长。由抛物线的标准方程可知,焦点为,准线方程为.由题设,直线的方程为:.代入抛物线方程,整理得:.解法一:解上述方程得:,分别代入直线方程得:即坐标分别为、.解法二:设,,则:=11用心爱心专心解法三:设、.由抛物线定义可知,等于点到准线的距离.即同理点拨:解法一利用传统的基本方法求出两点坐标,再利用两点间距离公式求出的长。解法二没有直接求出A、B坐标
9、。而是利用韦达定理找到与的关系,利用直线截二次曲线的弦长公式求得,这是典型的设而不求的思想方法,比解法一先进,解法三充分利用抛物线的定义,把过焦点的这一特殊的弦分成两个半径的和,转化为准线的距离,这是思维产生质的飞跃的表现。例5.过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB。求证:直线AB过定点求△AOB面积的最小值解:(1)设A()、B(),则若则由OA⊥OB得,AB过点M(1,0)若则由OA⊥OB得,又∴故AB的方程为:11用心爱心专心即化
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