高二数学 抛物线的定义-标准方程及几何性质（文） 人教实验B版.doc

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1、高二数学抛物线的定义；标准方程及几何性质（文）人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：抛物线的定义；标准方程及几何性质二.本周学习目标掌握抛物线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求抛物线的方程，掌握抛物线的几何性质。了解抛物线的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决有关直线和抛物线的位置关系的一些问题。三.考点分析（一）抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。（二）1.抛物线的标准方程、图像及几何性质：焦点在轴上，开口向右焦点在轴上，开口

2、向左焦点在轴上，开口向上焦点在轴上，开口向下标准方程图形顶点对称轴轴轴焦点离心率准线通径（是过焦点的所有弦中最短的弦）焦半径焦准距11用心爱心专心2.抛物线标准方程中p的几何意义是：焦点到准线的距离，故p＞03.抛物线的标准方程中，一次项的变量决定对称轴，一次项的符号决定开口方向。4.弦长公式：（1）过焦点F（,0）的弦长：x，x分别为弦AB的端点的横坐标，y,y分别为弦AB的端点的纵坐标，弦

3、AB

4、＝x+x+p，，yy＝－p（2）一般的弦长公式：类似于椭圆，x，x分别为弦PQ的横坐标，y,y分别为弦PQ的纵坐标，弦PQ所在的直线方程为y=kx+b,代入抛物线方程整理得Ax+Bx+C=

5、0,则＝，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则＝5.斜率为k的弦的中点的轨迹方程是：y=,一条平行于x轴且不包括端点在抛物线内部的射线。6.与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）设AB为焦点弦，端点在准线上的射影为A，B，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF（3）若P为AB的中点，则PA⊥PB（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。7.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。【典型例题】例1.指出抛物线的焦点坐标、准线方程

6、．（1）（2）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中的哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程。（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，11用心爱心专心①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是：．②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是：．综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．例2.分别求满足下列条件的抛物线的方程。过点B（-3,2）；焦点在直线上解：（1）依题意，设所求抛物线的方程为∵抛物线过点B（-3,2），代入得代入得∴

7、所求抛物线的方程为（2）令，令∴抛物线的焦点坐标为（0，-2）或（4，0）当焦点坐标为（0，-2）时，抛物线的方程为当焦点坐标为（4，0）时，抛物线的方程为反思：抛物线的开口方向有四种，相应的标准方程的形式也就有四种，因此，在解题时要利用图形全面分析，防止遗漏符合题设条件的某个开口方向，从而防止遗漏符合题设条件的抛物线的标准方程。例3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和的值。解法一：设抛物线方程为，则焦点为，由题设可得：11用心爱心专心解得或故抛物线方程为的值为解法二：设抛物线方程为，则焦点为，准线方程为.根据抛物线定义，到焦点的距离等

8、于5，也就是到准线的距离等于5，则因此抛物线方程为.又点在抛物线上，于是点评：解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化。例4.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段。AB的长。由抛物线的标准方程可知，焦点为，准线方程为.由题设，直线的方程为：.代入抛物线方程，整理得：.解法一：解上述方程得：，分别代入直线方程得：即坐标分别为、.解法二：设，，则：=11用心爱心专心解法三：设、.由抛物线定义可知，等于点到准线的距离.即同理点拨：解法一利用传统的基本方法求出两点坐标，再利用两点间距离公式求出的长。解法二没有直接求出A、B坐标

9、。而是利用韦达定理找到与的关系，利用直线截二次曲线的弦长公式求得，这是典型的设而不求的思想方法，比解法一先进，解法三充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊的弦分成两个半径的和，转化为准线的距离，这是思维产生质的飞跃的表现。例5.过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB。求证：直线AB过定点求△AOB面积的最小值解：（1）设A（）、B（）,则若则由OA⊥OB得，AB过点M（1，0）若则由OA⊥OB得，又∴故AB的方程为：11用心爱心专心即化