第四章态和力学量表象.ppt

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1、第四章态和力学量的表象量子态是态矢量空间中的一个矢量，矢量可以选用不同的基底来表示，不同的基底也就是表象理论中的不同的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前所采用的表象是坐标表象。这一章我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克符号。一个矢量在直角坐标系中可用三个分量表示，在球坐标系中用三个分量表示。在不同的坐标系中用不同的分量表示。一、波函数在动量表象中的表示动量本征函数且组成完全系，态可以用的本征函数展开展开式中系数：若态是归一化函数§4.1态的表象在范围中的概率。是粒子在态中测量粒子动量在范围中概率；是粒子在态中测量

2、粒子位置已知，则能确定，表明二者是描述同一个状态。是动量表象中的波函数。是坐标表象中波函数。例1:求动量为的自由粒子波函数在动量表象中的表示解：动量为的自由粒子在坐标表象中的波函数在动量表象中，动量为的自由粒子波函数是以动量为变量的函数。坐标算符在坐标表象中对应于确定值为的本征函数是以坐标为变量的本征函数。对任意波函数有：表明是波函数在坐标表象中的表示。二、波函数在力学量Q表象的表示(分立谱)波函数用力学量算符Q的本征函数展开已知力学量Q的本征值：对应的本征函数：即：且是在Q表象中的表示.称为量子态在Q表象中的表示。2、矩阵表示1、定义

3、波函数用力学量算符Q的本征函数展开，所得到的全部展开系数组：可用一列矩阵表示：量子态在Q表象中的表示：3.归一化条件矩阵的共轭为简记为：Q表象,实际上就是以Q算符的本征函数为基底的表象.三、推广到既有分立谱也有连续谱若Q算符的本征值是既有分立谱也有连续谱,即本征值：(是连续谱)归一化本征函数：波函数用力学量算符Q的本征函数展开是在态中测量力学量Q所得结果为的概率。是态中测量力学量Q，在所得的概率。四、态矢量和希尔伯特空间一个态在不同的表象中其波函数形式不同。如动量为的自由粒子波函数在坐标表象中表示为；在动量表象中表示为。在三维空间中的一

4、个任意矢量。在直角坐标系中：在球坐标系中：称为基矢量分别直角坐标系中方向上的单位矢量分别是三个方向上的分量。是球坐标系的单位矢量或基矢量分别是三个方向上的分量。类比：态作为矢量，称为态矢量。（相当于）选取力学量Q表象。（相当于选坐标系）的本征函数是Q表象中基矢。（相当于）（相当于）（相当于）由于有无限多，则态矢量所在空间是无限多维的空间，称为希尔伯特空间。除了坐标表象、动量表象，还有能量表象、角动量表象等。相当于例：分别在坐标表象、动量表象和能量表象中一维无限深阱中基态粒子的波函数的表示。解：已知波函数：在坐标表象中：基态粒子的波函数补

5、充：算符的本征函数：在动量表象中：在能量表象中：§4.2算符的矩阵表示一、矩阵简介1.定义有个元素排成行列称为矩阵,记为或。称为矩阵元2.性质ⅰ）两矩阵相等ⅱ）矩阵加法ⅲ）矩阵的数乘等于数乘以矩阵。ⅳ）矩阵的乘法一般情况：若称A和B是对易的。ⅴ）对角矩阵和单位矩阵单位矩阵对角矩阵ⅵ)转置矩阵共轭矩阵与厄密矩阵⑴转置矩阵⑵共轭矩阵⑶厄密矩阵例：(5)厄密矩阵的本征值是实数设和分别是的本征值和本征矢：且：左乘（1）式两边，右乘（2）式两边，得：由此得到：（4）证明：有：ⅶ）逆矩阵称为矩阵的逆矩阵若有逆矩阵，则称为非奇异的。若无逆矩阵，则称为

6、奇异的。若和有逆矩阵、，则有：同理：ⅷ)矩阵的迹矩阵的对角元素之和称为矩阵的迹，记为:在Sp符号下矩阵乘积的顺序可以互换：设只有分立的本征值，对应的本征函数为：2.在表象中矩阵表示1.在坐标表象中二、算符的矩阵表示即的基矢记为：(1)得:以乘以上式并积分，得令：在Q表象中的矩阵元。代入：（1）该式为（1)式在Q表象中的表示。当时：在Q表象中为矩阵：和写成矩阵形式为：记为：二、厄密算符的矩阵1.复习一个矩阵取其共轭转置，相当于矩阵转置后再取复共轭。即:当一个矩阵等于它的共轭转置矩阵，即满足条件时，称为厄密矩阵。厄密矩阵的对角元为实数；而其

7、余的各个非对角元素，对于主对角线是复数共厄对称的。量子力学中要用厄密算符来描写力学量，所以同它们对应的矩阵必是厄密矩阵。由于厄密矩阵的本征值是实数，由此厄密算符的本征值必定是实数。2.厄密算符的矩阵是厄密矩阵或例：若Q表象中有三个基矢。有算符满足。求：在Q表象中表示及在Q表象中表示。解：除外，其余同理：两种方法即:算符在其自身表象中是一个对角矩阵。三、算符在自身表象中为对角矩阵在其自身表象中的矩阵元当时，；时。四、推广到连续谱分立谱连续谱五、既有分立谱又有连续谱算符的矩阵元为:在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。例如算符在坐标表象中的

8、矩阵元:例：计算在坐标表象和动量表象中的矩阵元§4.3量子力学公式的矩阵表示一、平均值公式（不显含t）表象：用本征函数展开：在Q表象中：简记为：二、薛定谔方程用Q表象基矢展开：用左乘上式两边并积分：该式为薛