《态和力学量的表象》PPT课件.ppt

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1、第四章态和力学量表象§1态的表象到目前为止，体系的状态基本上都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象：量子力学中态函数（波函数）和力学量算符的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波

2、函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：组成完备系，任一状态Ψ可按其展开展开系数（一）动量表象假设Ψ(x,t)是归一化波函数，则C(p,t)也是归一化。C(p,t)物理意义Ψ(x,t)与C(p,t)一一对应，描述同一状态。Ψ(x,t)是该状态在坐标表象中的波函数；而C(p,t)就是该状态在动量表象中的波函数。

3、Ψ(x,t)

4、2dx是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x→x+dx范围内的几率。

5、C(p,t)

6、2dp是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p→p+dp范围内的几率。若Ψ(x,t)描写的态是具有确定动量的自由粒子状态，即平面波：则相应动

7、量表象中的波函数：所以，在动量表象中，具有确定动量的粒子的波函数是以动量p为变量的δ函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。展开式同理，坐标本征函数在自身表象下其实就是δ函数这可以有如下的本征值方程来证明：（二）力学量表象推广上述讨论：x,p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量Q表象。那末，在任一力学量Q表象中，Ψ(x,t)所描写的态又如何表示呢？我们将提出问题根据量子力学基本假定，当粒子处于状态时，坐标位置确定，为其实这个问题，自上一章讨论波函数展开系数的物理意义时已经有所提及。我们将分两种情况回答这个问题（1）具有分立本

8、征值的情况（2）含有连续本征值情况设算符Q的本征值为：Q1，Q2,...,Q，...，相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),...。将Ψ(x,t)按Q的本征函数展开：若Ψ,un都是归一化的，则an(t)也是归一化的。（1）分立谱情况证：a1(t),a2(t),...,an(t),...就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。由此可知，

9、an

10、2表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得到本征值Qn的几率。转置共轭矩阵归一化可写为写成矩阵形式注意：这里的是列矩阵，不是函数同样若,都是归一化的，则也是归一化的。关于这个结论的证明见上一章的讲义。（2）只含有连续本征值情况

11、假如力学量Q的本征值谱只包含连续谱，本征值为q，对应本征函数为则任意波函数按Q的本征函数展开为根据上一章量子力学基本假定，

12、aq(t)

13、2dq是在Ψ(x,t)描述的态中测量力学量Q所得结果在q→q+dq之间的概率。即展开系数我们也可以同刚才一样把状态写成是列矩阵的形式，即此时转置共轭矩阵为此时归一化式也可以写成为矩阵相乘的形式注意：这里被视为列矩阵中的一个元素。只不过因为q是连续的，因此我们不能把每一项元素分开写成一个明显的列矩阵形式这是个元素不能分开的行矩阵在Q表象中，由描述的状态被表示为例如动量表象下的波函数c(p,t)就是这类表示，其实我们最常使用的坐标表象下的波函数也属于这类表示设

14、力学量Q的本征值和本征函数分别为：Q1,Q2,...,Qn,...,qu1(x),u2(x),...,un(x),...,uq(x)即本征值谱中既包含了分立部分，又包含有连续部分对应本征函数可记为这时展开系数为：例如氢原子能量就是这样一种力学量，既有分立也有连续本征值。（3）既包含连续谱，又包含分立谱情况同样若,都是归一化的，则展开系数也是归一化的。

15、an(t)

16、2是在Ψ(x,t)态中测量力学量Q所得结果为Qn的几率；

17、aq(t)

18、2dq是在Ψ(x,t)态中测量力学量Q所得结果在q→q+dq之间的几率。我们仍可以用一个列矩阵表示：归一化仍可表为：注意在连续谱部分使用了积分在Q表象下，由描述

19、的状态被表示为状态归一化坐标表象函数形式矩阵形式连续元列矩阵动量表象函数形式矩阵形式连续元列矩阵Q表象连续谱函数形式矩阵形式连续元列矩阵分立谱数列形式a1(t),a2(t),...,an(t),...矩阵形式状态归一化Q表象分立谱和连续谱函数（数列形式）a1(t),a2(t),...,an(t),...aq(t)矩阵形式这些列矩阵一般来说都是无限行的。本章我们统一使用列矩阵形式的波函数。（三）讨论同一状态可以在不同表象用