态和力学量表象

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1、第四章态和力学量表象§1态的表象§2算符的矩阵表示§3量子力学公式的矩阵表述§4么正变换§5Dirac符号§6Hellmann-Feynman定理及应用§7占有数表象§1§2§3§4§5§6§7§1态的表象几何学中选用坐标系不是唯一的:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等,但它们对空间的描写是完全是等价的。三维空间中的矢量及基矢量也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。量子力学中描述体系的状态也不是唯一的：描写状态的波函数可以是坐标的函数，力学量则用作用于坐标函数的算符表示。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。坐标表象、动量

2、表象、其它力学量表象（一）动量表象（三）讨论（二）力学量表象在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：组成完备系，任一状态Ψ可按其展开展开系数（一）动量表象证动量表象中的归一化条件为：

3、C(p,t)

4、2dp：是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p→p+dp范围内的几率

5、Ψ(x,t)

6、2dx：是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x→x+dx范围内的几率Ψ(x,t)与C(p,t)一一对应，描述同一状态Ψ(x,t)是该状态在坐标表象中的波函数C(

7、p,t)是该状态在动量表象中的波函数C(p,t)物理意义或者：在t时刻，粒子的动量出现在p→p+dp范围内的几率若Ψ(x,t)描写的态是具有确定动量p’的自由粒子态，即：则相应动量表象中的波函数：所以，在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的δ函数。即：动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。x在自身表象即坐标表象中对应有确定值x’本征函数是δ(x'-x)同样这可由本征值方程看出：那末，在任一力学量Q表象中，Ψ(x,t)所描写的态又如何表示呢？推广上述讨论：x,p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象任何力学量Q都可以建立一种表象，称为力学量

8、Q表象问题（1）具有分立本征值的情况（2）含有连续本征值情况（二）力学量表象（1）具有分立本征值的情况设算符Q的本征值为：Q1,Q2,...,Qn,...，相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),...。将Ψ(x,t)按Q的本征函数展开：若Ψ,un都是归一化的，则an(t)也是归一化的。由此可知，

9、an

10、2表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得Qn的几率。a1(t),a2(t),...,an(t),...就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。写成矩阵形式证：共轭矩阵归一化可写为（2）含有连续本征值情况例如氢原子能量就是这样一种力学量，即

11、有分立也有连续本征值。设力学量Q的本征值和本征函数分别为：Q1,Q2,...,Qn,...,qu1(x),u2(x),...,un(x),...,uq(x)则归一化则变为：

12、an(t)

13、2是在Ψ(x,t)态中测量力学量Q所得结果为Qn的几率；

14、aq(t)

15、2dq是在Ψ(x,t)态中测量力学量Q所得结果在q→q+dq之间的几率。在这样的表象中，Ψ仍可以用一个列矩阵表示：归一化仍可表为：Ψ+Ψ=1同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。（三）讨论这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量A在直角坐标系由三分量AxAy

16、Az描述；在球坐标系用三分量ArAA描述。AxAyAz和Ar,A,A形式不同，但描写同一矢量A。基本矢量态矢量波函数是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。把状态Ψ看成是一个矢量——→态矢量选取力学量Q表象------→相当于选取特定的坐标系u1(x),u2(x),...,un(x),...是Q表象的基本矢量简称基矢。Hilbert空间:以力学量本征函数为基矢所构成的空间（一）力学量算符的矩阵表示（二）厄密算符的矩阵在表象中的情况（三）有连续本征值的情况

17、§２算符的矩阵表示返回1.表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。坐标表象、动量表象、其它力学量表象复习基矢态矢量把状态Ψ看成是一个矢量——→态矢量选取力学量Q表象------→相当于选取特定的坐标系2.态矢量在Q表象下的表示：设算符Q的本征值为：Q1,Q2,...,Qn,...，相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),...。Q表象的基本矢量ijk相当于矢量Â相当于矢量Â的分量Ax、Ay、Az力学量算符F在Q表象下的表示是什么？量子力学公式在Q表象下的表示是什么？问题（一）力学量算符的矩阵表示在坐标表象中：在表象中：于是有：可见必是

18、一矩阵。一