第三章多自由度体系的振动ppt课件.ppt

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1、第三章多自由度体系的振动1第三章多自由度体系的振动§3.1两个自由度体系的自由振动§3.2多自由度体系的自由振动§3.3主振型的正交性和正则坐标§3.4多自由度体系的强迫振动2很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系（multi-degreeoffreedomsystem）计算。3.1两个自由度体系的自由振动对具有无限个自由度的弹性结构，精确地处理其振动问题：有时是非常困难的，在某些情况下也并不必要。在某些特定条件下可对问题作

2、一些简化假定，使一个无限自由度体系离散为有限多个自由度体系，使原来的问题变得容易求解，能获得原结构体系的主要属性和特征。针对两个自由体系，介绍三种常用的方法：平衡力系法、刚度法、柔度法31、平衡力系法如图，两集中质量和通过三个弹簧、和相互联结，在任意一时刻它们偏离其平衡位置的水平位移分别为和。3.1两个自由度体系的自由振动根据两质量块的平衡条件，可以得到：4表示成矩阵形式：式中：整理：3.1两个自由度体系的自由振动2个自由度体系的自由振动写成一般形式：5对于图中结构体系，有3.1两个自由度体系的自由振动6假设两个质点为简谐振动，上

3、式的解设为：位移振幅和，以及频率和相位角均为待定参数。3.1两个自由度体系的自由振动71）、在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角。2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：3.1两个自由度体系的自由振动83.1两个自由度体系的自由振动齐次方程有非零解的条件为其系数行列式等于零，即:该式是固有频率应满足的条件，称为频率方程或特征方程。（eigenequationorcharacteristicequation）利用这个方程可计算固有频率9展开上式，求得的两个根为:正实根，仅依赖于

4、结构体系的物理性质，即质量和弹簧刚度。3.1两个自由度体系的自由振动具有两个自由度的体系共有两个自振频率，表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率（fundamentalfrequency）；称为第二圆频率。10比值所确定的振动形式就是与第一圆频率相应的振型，称为第一振型或基本振型（fundamentalmode）分析频率各自对应的振型3.1两个自由度体系的自由振动和表示第二振型中质点1和2的振幅。下标与质量和相对应，上标表示模态号码。由于模态方程是齐次的，所以及只有相对关系。11振型计算公式频率计算公式频率方程....振

5、型方程为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式=0展开是ω2的二次方程，解得ω2两个根为：可以证明这两个根都是正根。与ω2相应的第二振型：因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与ω1相应的第一振型：12ω2的两个根均为实根；矩阵[k]为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。故矩阵[k]为正定矩阵。k11k22-k12k21>0ω2的两个根均为正根；13与ω2相应的第二振型：求与ω1相应的第一振型：2个自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振

6、型相对应。在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。3.1两个自由度体系的自由振动14方程的全解:其中，、、和由初始条件确定。3.1两个自由度体系的自由振动一般情况下，体系的自由振动不是主振动，而是两种不同频率及其振型的组合振动:15例试分析图示结构体系的固有频率和振型。已知：。解：体系的运动方程为：3.1两个自由度体系的自由振动16体系的运动方程为：设方程的解为：3.1两个自由度体系的自由振动上式有非零解的条件是系数行列式为零：展开行列式，可以求得17第一模态（振型）为两个质量一起振动，

7、无相对位移，中间一个弹簧不起作用，只有第一和第三个弹簧起作用，其结果类似于质量为2m、弹簧系数为2k的单自由度体系的振动；以横坐标表示系统的静平衡位置，纵坐标表示各点的振幅，体系的主振型图。第二模态（振型）为两个质量作相反振动，中间一个弹簧的中点始终不动。计算振型：3.1两个自由度体系的自由振动181、主振动:结构体系以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为体系的主振动。2、各点同时经过静平衡位置，并同时到达最大偏移位置，以确定的频率和振型作简谐振动。3.1两个自由度体系的自由振动3、自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振

8、频率由特征方程求出。4、每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。5、自振频率和主振型是体系本身的固有特性。总结：19y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1............2