用向量讨论垂直与平行教案（北师大版选修21）.doc

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1、§4用向量讨论垂直与平行●三维目标1．知识与技能掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直与平行问题．2．过程与方法通过对定理的证明，认识到向量方法是解决立体几何问题的基本方法．3．情感、态度与价值观通过对定理的证明，形成多元多维的角度看待立体几何问题的观点．●重点难点重点：用向量方法证明立体几何中的垂直与平行问题．难点：空间直角坐标系的正确建立，用向量语言证明立体几何中的垂直与平行问题．用向量讨论垂直与平行要围绕两个问题展开教学，一是用什么刻化空间中的垂直与平行；二是怎样刻化．在教学中，引导学生先自主探究，再小组讨论，在这个过程中，让学生去领会用向量讨论垂直与平行的方法．(教师用书独具)●

2、教学建议1．树立以学生发展为本的思想．通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程．2．在具体问题的分析、引导过程中，依据建构主义教学原理，通过类比、对比和归纳，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去．3．利用多媒体辅助教学，增强动感与直观性，提高教学效果和教学质量．●教学流程设置情境引入课题方向向量与法向量在刻化直线与平面中的作用如何用方向向量与法向量描述空间中的垂直与平行关系通过例题领会垂直与平行的向量证法通过练习体验向量法的应用归纳总结升华认识课标解读1.能用向量语言表述线线

3、、线面、面面的平行、垂直关系．(重点)2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．(重点)3.能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力．(难点)用向量讨论垂直关系【问题导思】　1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n.(1)若l⊥α，则m与n有怎样的关系？【提示】　m∥n.(2)若m∥n，则l与α有怎样的关系？【提示】　l⊥α.2．问题1中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发？【提示】　可用直线的方向向量与平面的法向量讨论立体几何中的垂直问题．　立体几何中垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b

4、，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.(1)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)．(3)面面垂直：π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.用向量讨论平行关系【问题导思】　1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，若m⊥n，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？【提示】　l∥α或lα.成立．2．已知直线l的方向向量为m，v1，v2是平面α的一个基底，若存在x，y∈R，使得m＝xv1＋yv2，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？【提示】　l∥α或lα.成立．　立体几何中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b

5、，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．(2)线面平行：l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0.(3)面面平行：π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R).平面的法向量的求法　如图2－4－1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，图2－4－1(1)求面A1BC1的一个法向量．(2)若M为CD的中点，求面AMD1的一个法向量．【思路探究】　(1)直接找平面垂线的方向向量．(2)选基向量，→设平面的法向量→运算求参数的关系式→赋值→结论【自主解答】　以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长

6、为a.(1)∵B1D⊥BC1，B1D⊥A1B，BC1∩A1B＝B，∴B1D⊥面A1BC1，又∵＝(0，a,0)－(a,0，a)＝(－a，a，－a)，∴n2＝＝(－1,1，－1)为面A1BC1的一个法向量．(2)设n＝(x0，y0，z0)为面AMD1的法向量，∵＝(，a,0)，＝(0，a，a)，∴令x0＝2，则y0＝－1，z0＝1，∴n＝(2，－1,1)为面AMD1的一个法向量．　求一个平面的法向量，主要有以下两种方法：1．根据立体几何的知识，可以明确找到该平面的垂线，则以该垂线的方向向量为该平面的法向量．2．对于一般位置状态的平面，采用以下步骤求法向量．　已知平面α经过点A(1,2,3)

7、，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．【解】　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n＝(x，y，z)，依题意，应用n·＝0且n·＝0，即解得z＝0且x＝2y，令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0).用向量证明垂直问题图2－4－2　如图2－4－2所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC