最新高等代数答案教学内容.doc

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1、第一章多项式习题解答1.用除,求商与余式.1).2).2.适合什么条件时,有1)当且仅当时.本题也可用待定系数法求解.当时,用去除,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商为.于是有.因此有.1)由带余除法可得当且仅当时.即,即或本题也可用待定系数法求解.当时,用去除,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商可设为.于是有比较系数可得消去可得或3.求除的商与余式.1)解:运用综合除法可得商为,余式为2).解:运用综合除法得:商为,余式为.4.把表成的方幂和,即表示成的形式.1);2)3)分析:假设为次多项式,令即为除所得的余式,商为.类

2、似可得为除商所得的余式,依次继续即可求得展开式的各项系数.解:1)解法一:应用综合除法得..解法二:把表示成,然后用二项式展开2)仿上可得.1)因为5.求与的最大公因式1)解法一:方法二:利用因式分解因此最大公因式为.解法二:运用辗转相除法得因此最大公因式为.1).解:运用辗转相除法得(注意缺项系数补零)2),因此6.求使1)8.证明:如果且为与的一个组合,那么是与的一个最大公因式.证明:由可知是与的一个公因式.下证与的任意一个公因式是的因式.由为与的一个组合可知,存在多项式,使得.设是与的任意一个公因式,则.故即因此是与的一个最大

3、公因式.9.证明:的首项系数为1).证明:存在多项式,使得.所以有.即是与的一个组合.显然有.从而.由第8题结果是与的一个最大公因式.又是首项系数为1的,因此10.如果,不全为零,证明.证明:由,不全为零可得其最大公因式不为零多项式,即又存在多项式,使得.于是.因此.11.如果,不全为零,且,那么.证明:由,不全为零可得由有于是.12.证明:如果那么证法一、由条件可得存在多项式;使得,.两式相乘得.因此有证法二、反证法证明.显然若则存在不可约多项式,使得为与的公因式.因此有且.由的不可约性有或.若,则为与的一个公因式,与相矛盾.若,

4、则为与的一个公因式,与相矛盾.因此不成立,即有13.设都是多项式,而且求证:.14.证明:如果那么证明:方法一.由存在多项式使得.从而有因此有由12题结果结论成立.方法二:用反证法.若则存在不可约多项式,使得为与的公因式.即且.由的不可约性及,有或.若,又,因此有,即,也即为与的一个公因式,与相矛盾.类似可得当时也与已知矛盾.所以15.求下列多项式的公共根:解法一:利用因式分解可得因此.与的公共根为解法二:运用辗转相除法求出与的最大公因式,最大公因式的根即为所求的公共根.因此.与的公共根为13.判别下列多项式有无重因式:1)解:运用

5、辗转相除法可得因此为的三重因式.解法二:试根可得2为的根.因此为的三重因式.2)解:.故无重因式.17.求值使有重根.解法一:要使有重根,则.当即时,因此1为的三重根.当,即时,,为的二重根.解法二:设.因此有由第一个方程有,代人第三个方程有即.因此有或即当时1为的三重根;当时,为的二重根.17.求多项式有重根的条件.18.如果求解法一:利用整除判定方法,的充要条件是用除,余式为零..因此有,即解法二:要使成立,则1至少是的二重根.因此1既是的根,也是其导数的根.而.故有解法三:利用待定系数法.令因此有解得17.证明:不能有重根.证

6、明:令则因此有从而有.因式只有及.而显然不是的因式.因此有.所以没有重根.18.如果是的一个重根,证明是的一个重根.证明:显然有.由是的一个重根可得是的一个重根,设是的重根,则.本题常见错误证法:证法一:由是的一个重根就得出是的一个重根,是的一个重根,是的一个重根,于是从而是的重根.事实上,由是的一个重根推不出是的一个重根,是的一个重根,是的一个重根.如,则,.既不是的根,也不是与的根.证法二:由得出是的重根,直接得出是的重根,缺了是与的根验证.17.证明:是的重根的充分必要条件是而证明:必要性.设是的重根,从而是的重因式,从而是的

7、重因式,是的重因式,...,是的单因式,而不是的因式.因此是,,,...,的根,而不是的根.故有而充分性.由而可知是,,,...,的根,而不是的根.因此是的单根,是二重根,依此类推,是的重根.18.举例说明断语“如果是的重根,那么是的重根”是不对的.解:例如,.是的重根,但不是的根.24.证明:如果那么.证明:由可得.从而因此有从而有即.证法二:要证,只要证在复数域上的各个根都是的根.的根为由可得.从而从而.即都是的根.因此有.25.证明:如果,那么证明:要证成立,只要证1是和的根.的两个根为.由可得.于是即.故有所以.26.求多项

8、式在复数范围内和在实数范围内的因式分解.解:的根为故在复数范围内的分解式为.在实数范围内,因,.当为奇数时,的根中一个为实根,其余为虚根,其分解式为.当为偶数时,的根中二个为实根,即其余为虚根,其分解式为26.求下列多项式的有理根.1

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